"포드 원 (Ford Circles)"의 두 판 사이의 차이

2009년 8월 17일 (월) 20:12 판

[[Media:|]]

\(p,q\)가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 \((\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})\) 이고, 반지름이 \(\frac{1}{2q^2}\)인 원을 포드 원이라 함
- \(y=0\)에 접함

위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 \(x\) 좌표이다.)

\(p,q\)가 서로소인 자연수들이니까, 원 중심의 \(x\) 좌표들은 기약분수들이 되겠다.
서로 겹치는 두 Ford circle 은 없는 듯 하다.
접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
- \(\frac35 , \frac23\) \(\frac35 , \frac58\) \(\frac58, \frac23\) \(\frac58, \frac{7}{11}\) ...
- \(10-9 = 25-24 = 16 - 15 = 56 - 55 = \cdots = 1\)
서로 접하는 세 포드 원 사이에는?
- \(\frac35, \frac58 , \frac23\) \(\frac35, \frac{8}{13} , \frac58\) \(\frac58, \frac{7}{11} , \frac23\) \(\frac47, \frac{7}{12} , \frac35\)
- 뭔가 발견했는가?
이제 Farey series 를 읽고 다시 돌아오자. (오른쪽 클릭 - 새 탭 열기/새 창 열기)

Proof.

아래에 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(q/p\) 인 원이고, 원 B 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(Q/P\) 인 원이다. (\(p,q, P, Q\) 는 자연수, \(gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1\))

[/pages/3210238/attachments/2009497 fig1.jpg]

위 그림에서, 점 \(A\) 에서 선분 \(\overline{BG}\) 위에 내린 발을 \(C\) 라 하자. 그러면 삼각형

Fractions
- L. R. Ford
- The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601
Ford_Circle.pdf
- 애기똥풀
http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circles

@@ 28번째 줄: / 28번째 줄: @@
+<h5>관찰의 증명</h5>
+# 서로 겹치는 두 포드 원은 없음.
+Proof.
+아래에 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 <math>x</math> 좌표가 <math>q/p</math> 인 원이고, 원 B 는 중심의 <math>x</math> 좌표가 <math>Q/P</math> 인 원이다. (<math>p,q, P, Q</math> 는 자연수, <math>gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1</math>)
+[/pages/3210238/attachments/2009497 fig1.jpg]
+위 그림에서, 점 <math>A</math> 에서 선분 <math>\overline{BG}</math> 위에 내린 발을 <math>C</math> 라 하자. 그러면 삼각형