"프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리"의 두 판 사이의 차이

2009년 11월 26일 (목) 18:38 판

density 정리란 prime ideal (또는 주어진 다항식 mod p) 의 분해와 프로베니우스 원소(혹은 아틴 심볼)의 cycle 구조와의 관계와 그 비율에 관한 정리.
갈루아 체확장 L/K

prime ideal과 conjugacy class의 관계
- 프로베니우스의 정리보다 더 강력함
- There are cases where cycle types are same but the conjugacy classes are different

\(\zeta_n\)는 primitive n-단위근이고 \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)라 하자.

\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.

소수 p에 대한 아틴 심볼은 \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시키는 \(\sigma_p \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)\) 로 정의된다.

p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.

한편 \(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다.

따라서 체보타레프 정리에 의해 디리클레 정리가 증명된다.

Frobenius and his Density theorem for primes
- B. Sury, Springer India, Volume 8, Number 12 / 2003년 12월
- http://www.ias.ac.in/resonance/Dec2003/pdf/Dec2003p33-41.pdf
The Chebotarev Density Theorem
- Hendrik Lenstra
Chebotarev and his density theorem
- P. Stevenhagen and H. W. Lenstra, Jr
What is a Reciprocity Law?
- B. F. Wyman
- The American Mathematical Monthly, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586

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 <h5>밀도 정리를 통한 디리클레 정리의 유도</h5>
-<math>\zeta_n</math>을 primitive n-th 단위근이라 하자.
+<math>\zeta_n</math>는 primitive n-단위근이고 <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>라 하자.
-<math>\text{Gal}(K/F)</math>
+<math>\wp \subset K</math> 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.
-<math>\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)</math> , <math>\wp</math> 는 unramified prime ideal over p 를 가정한다.
+소수 p에 대한 아틴 심볼은  <math>\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp</math> 를 만족시키는 <math>\sigma_p \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)</math> 로 정의된다.
-이제 소수 p에 대한 아틴 심볼은  <math>\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp</math> 를 만족시키는 로 정의된다.
+p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.
-체보타레프 정리에 의해 p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.
 한편 <math>\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b</math> 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다.
-따라서 의해 디리클레 정리가 증명된다.
+따라서 체보타레프 정리에 의해 디리클레 정리가 증명된다.