3-j 기호(3-j symbols)

개요

• 3차원 회전군 SO(3)의 기약표현과 관련된 이론
• 두 기약표현의 텐서곱을 기약표현으로 분해할 때, 기약표현의 기저로 구면조화함수(spherical harmonics)를 사용하는 경우 3-j 기호가 필요

$$\left( \begin{array}{ccc} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{array} \right)$$

주요 성질

• relation between 3j-symbol and Clebsch-Gordan coefficient
• Racah formula for 3j-symbol
  
  • explicit formula
• orthogonality relation
• Wigner-Eckart theorem
• 테이블
  
  • http://www.eng.fsu.edu/~dommelen/quantum/style_a/clgrdn.html#sec:clgrdn
  • http://www.eng.fsu.edu/~dommelen/quantum/style_a/nt_cgct.html#sec:nt_cgct
• 강의
  
  • http://www.youtube.com/watch?v=KZe6LqSMW9Y&feature=relmfu

구면조화함수에의 응용

• 구면조화함수(spherical harmonics)에 대하여 다음이 성립

\[ \begin{align} & {} \quad \int Y_{l_1}^{m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2}^{m_2}(\theta,\varphi)Y_{l_3}^{m_3}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi \\ & = \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix} l_1 & l_2 & l_3 \\[8pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} \end{align} \]

관련된 항목들

• 각운동량의 양자 이론
• 3차원 공간의 회전과 SO(3)
• Spin(3)

용어번역

• 셋 제이 기호 three j symbol
• 물리학 용어집