"힐베르트 부호"의 두 판 사이의 차이
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:<math>(a,b)=\begin{cases}1,&\mbox{ if }z^2=ax^2+by^2\mbox{ has a non-zero solution }(x,y,z)\in K^3;\\-1,&\mbox{ if not.}\end{cases}</math> | :<math>(a,b)=\begin{cases}1,&\mbox{ if }z^2=ax^2+by^2\mbox{ has a non-zero solution }(x,y,z)\in K^3;\\-1,&\mbox{ if not.}\end{cases}</math> | ||
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| + | * 다음을 만족한다 | ||
| + | :<math>(u^2,v)=1</math> | ||
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| + | :<math>(u_1u_2,v)=(u_1,v)(u_2,v)</math> | ||
| + | :<math>(u,1-u)=1</math> | ||
2013년 1월 10일 (목) 01:09 판
정의
- K : local field
\[(a,b)=\begin{cases}1,&\mbox{ if }z^2=ax^2+by^2\mbox{ has a non-zero solution }(x,y,z)\in K^3;\\-1,&\mbox{ if not.}\end{cases}\]
성질
- 다음을 만족한다
\[(u^2,v)=1\] \[(u,v)=(v,u)\] \[(u_1u_2,v)=(u_1,v)(u_2,v)\] \[(u,1-u)=1\]
유리수 체에서의 힐베르트 부호
- $p=\infty$ 일 때,
\[(a,b)_{\infty}= \begin{cases} 1,&\mbox{ if }a>0 \mbox{ or } b>0 \\ -1,& \mbox{ if }a<0 \mbox{ and } b<0 \end{cases} \]
- 홀수인 소수 p에 대하여, \(a = p^{\alpha} u\) and \(b = p^{\beta} v\)이면
\[(a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha\] 여기서 \(\epsilon(p) = (p-1)/2\)
- $p=2$일 경우, \(a = 2^\alpha u\), \(b = 2^\beta v\)라 두면
\[(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}\] 여기서 \(\omega(x) = (x^2-1)/8\).
- 상호법칙
\[\prod_v (a,b)_v = 1\]