"힐베르트 부호"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| 13번째 줄: | 13번째 줄: | ||
==유리수 체에서의 힐베르트 부호== | ==유리수 체에서의 힐베르트 부호== | ||
| + | ===p에 대한 힐베르트 부호=== | ||
* $p=\infty$ 일 때, | * $p=\infty$ 일 때, | ||
:<math>(a,b)_{\infty}= | :<math>(a,b)_{\infty}= | ||
| 24번째 줄: | 25번째 줄: | ||
* $p=2$일 경우, <math>a = 2^\alpha u</math>, <math>b = 2^\beta v</math>라 두면 | * $p=2$일 경우, <math>a = 2^\alpha u</math>, <math>b = 2^\beta v</math>라 두면 | ||
:<math>(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}</math> 여기서 <math>\omega(x) = (x^2-1)/8</math>. | :<math>(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}</math> 여기서 <math>\omega(x) = (x^2-1)/8</math>. | ||
| − | * | + | ===상호법칙=== |
| + | * 다음이 성립한다 | ||
:<math>\prod_v (a,b)_v = 1</math> | :<math>\prod_v (a,b)_v = 1</math> | ||
| − | + | * [[이차잉여의 상호법칙]] | |
2013년 1월 10일 (목) 01:34 판
정의
- K : local field
\[(a,b)=\begin{cases}1,&\mbox{ if }z^2=ax^2+by^2\mbox{ has a non-zero solution }(x,y,z)\in K^3;\\-1,&\mbox{ if not.}\end{cases}\]
성질
- 다음을 만족한다
\[(u^2,v)=1\] \[(u,v)=(v,u)\] \[(u_1u_2,v)=(u_1,v)(u_2,v)\] \[(u,1-u)=1\]
유리수 체에서의 힐베르트 부호
p에 대한 힐베르트 부호
- $p=\infty$ 일 때,
\[(a,b)_{\infty}= \begin{cases} 1,&\mbox{ if }a>0 \mbox{ or } b>0 \\ -1,& \mbox{ if }a<0 \mbox{ and } b<0 \end{cases} \]
- 홀수인 소수 p에 대하여, \(a = p^{\alpha} u\) and \(b = p^{\beta} v\)이면
\[(a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha\] 여기서 \(\epsilon(p) = (p-1)/2\)
- $p=2$일 경우, \(a = 2^\alpha u\), \(b = 2^\beta v\)라 두면
\[(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}\] 여기서 \(\omega(x) = (x^2-1)/8\).
상호법칙
- 다음이 성립한다
\[\prod_v (a,b)_v = 1\]