"합동수 문제 (congruent number problem)"의 두 판 사이의 차이
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==개요== | ==개요== | ||
| 29번째 줄: | 21번째 줄: | ||
(증명) | (증명) | ||
| − | 직각삼각형의 세 변의 길이가 <math>a,b,c</math>로 주어졌다고 가정하고 그 넓이가 <math>n</math> 이라 하자. | + | 직각삼각형의 세 변의 길이가 <math>a,b,c</math>로 주어졌다고 가정하고 그 넓이가 <math>n</math> 이라 하자. 다음의 연립방정식이 만족된다. |
| − | + | $$ \left\{ \begin{array}{c} a^2 + b^2 &=& c^2 \\ \frac{ab}{2} &=& n \end{array} \right. $$ | |
| − | |||
다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다. | 다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다. | ||
| − | + | :<math>(\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2</math> | |
| − | <math>(\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2</math> | ||
<math>u=\frac{c}{2}</math>, <math>v=\frac{a^2-b^2}{4}</math> 로 두자. | <math>u=\frac{c}{2}</math>, <math>v=\frac{a^2-b^2}{4}</math> 로 두자. | ||
2013년 1월 20일 (일) 14:54 판
개요
- 자연수 중에서 세변이 모두 유리수 길이를 갖는 직각삼각형의 넓이로 나타날 수 있는 수를 congruent number라 함
- 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상인 경우를 찾는 문제와 같다
- 주어진 n이 congruent number 인지를 판정하는 방법이 있으나, Birch and Swinnerton-Dyer 추측에 의존하고 있다 [Tunnell1983]
타원곡선과의 관계
(정리)
자연수 \(n\) 은 congruent number 이다
\(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 이 \(y\neq0\)인 유리해를 갖는다.
\(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상이다.
(증명)
직각삼각형의 세 변의 길이가 \(a,b,c\)로 주어졌다고 가정하고 그 넓이가 \(n\) 이라 하자. 다음의 연립방정식이 만족된다. $$ \left\{ \begin{array}{c} a^2 + b^2 &=& c^2 \\ \frac{ab}{2} &=& n \end{array} \right. $$
다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다. \[(\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2\]
\(u=\frac{c}{2}\), \(v=\frac{a^2-b^2}{4}\) 로 두자.
디오판투스 방정식 \(u^4-n^2=v^2\) 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.
\(u^4-n^2=v^2\)에서 \(u^6-n^2u^2=u^2v^2\) 를 얻은 뒤, \(x=u^2\), \(y=uv\) 로 두면, 타원곡선의 방정식 \(y^2=x^3-n^2x\)을 얻는다.
따라서 세 변의 길이가 \(a,b,c\)이고 그 넓이가 \(n\)인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해를 얻는다.
그러면 역으로 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?
\(y\neq0\)인 유리수해 \((x,y)\) 에 대하여
\(a=|\frac{n^2-x^2}{y}|\), \(b=|\frac{2nx}{y}|\), \(c=|\frac{n^2+x^2}{y}|\)
로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다.
한편 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 torsion은 \(\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}\) 뿐이므로, \(y\neq0\)인 유리수해 \((x,y)\) 의 존재는 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상이라는 사실과 동치이다. ■
n=1 의 경우
- n=1은 congruent number 가 아니다
- 페르마 infinite descent http://books.google.com/books?id=lJxOgVcHBlkC&pg=PA54&lpg=PA54&dq=infinite+descent+fermat+congruent+number&source=bl&ots=NZoJGuIQ55&sig=HU8Y2s5MU004XJTwxTQ1eGwqr54&hl=ko&sa=X&ei=vbMYT_p5pI6KApm64e0K&ved=0CEkQ6AEwBA#v=onepage&q=infinite%20descent%20fermat%20congruent%20number&f=false
- 타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 유리수해는 다음과 같다\[E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \]
- 따라서 n=1은 congruent number 가 아니다
- 타원곡선 y^2=x^3-x 항목 참조
n=5인 경우
- 5는 congruent number 이다
- 세 변의 길이가 다음과 같은 직각삼각형을 만들 수 있다
- \(\frac{41}{6},\frac{20}{3},\frac{3}{2}\)
- 5는 가장 작은 congruent number이다
n=6인 경우
- 6은 congruent number이다\[y^2=x^3-36x\]의 모든 정수해는\((x,y)= (0, 0), (\pm6, 0), (â3,\pm9), (â2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다.
- 사각 피라미드 퍼즐 항목 참조
목록
- 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84 ...
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003273 참조
메모
역사
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/congruent_number
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
계산 리소스
관련논문
- Mock heegner points and congruent numbers Paul Monsky, Mathematische Zeitschrift, Volume 204, Number 1 / 1990년 12월
- [Tunnell1983]A classical diophantine problem and modular forms Tunnell, J.B., Invent. Math.72, 323–334 (1983)
- The Congruent Number Problem Ronald Alter, The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 1 (Jan., 1980), pp. 43-45
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
관련도서
- History of the Theory of Numbers Volume II
- Leonard Eugene Dickson
- Chapter XVI
- Leonard Eugene Dickson