"프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
==개요==
  
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* density 정리란 prime ideal (또는 주어진 다항식 mod p) 의 분해와  프로베니우스 원소(혹은 아틴 심볼)의 cycle 구조와의 관계와 그 비율에 관한 정리.
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* density 정리란 prime ideal (또는 주어진 다항식 mod p) 의 분해와  프로베니우스 원소(혹은 아틴 심볼)의 cycle 구조와의 관계와 그 비율에 관한 정리.
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* 갈루아 체확장 L/K 
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==프로베니우스의 밀도 정리==
 
==프로베니우스의 밀도 정리==
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* prime ideal과 순환마디 형태의 관계
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* <math>f(x)\in\mathbb{Z}[x]</math> : 갈루아 군이 G인, 차수가 $n$이고 최고차항이 1인 기약다항식
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* $f$의 서로 다른 해를 $\alpha_1,\cdots, \alpha_n$으로 두면, $G$는 치환군 $S_n$의 부분집합으로 볼 수 있다
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* 소수 $p$에 대하여, $f(x) \pmod p$의 인수분해로부터 $n$의 분할 <math>n_1,n_2,\cdots,n_r</math>가 정의된다
  
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* prime ideal과 cycle type의 관계
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===정리===
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* The set of primes p modulo which a monic integral, irreducible polynomial f has a given decomposition type <math>n_1,n_2,\cdots,n_r</math> has density equal to N/O(Gal(f)) where:<math>N =|\{a \in \operatorname{Gal}(f) : \sigma\text{ has a cycle pattern } n_l,n_2,\cdots,n_r\}|.</math>
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* 분해 형태가 <math>n_1,n_2,\cdots,n_r</math>인 소수 $p$의 집합은 밀도를 가지며, 밀도는 $N/\operatorname{Gal}(f)$으로 주어진다
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여기서 :<math>N =|\{a \in \operatorname{Gal}(f) : \sigma\text{ has a cycle pattern } n_l,n_2,\cdots,n_r\}|</math>
  
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==체보타레프의 밀도 정리==
 
==체보타레프의 밀도 정리==
  
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*  prime ideal과 conjugacy class의 관계<br>
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*  prime ideal과 켤레류의 관계
 
** 프로베니우스의 정리보다 더 강력함
 
** 프로베니우스의 정리보다 더 강력함
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** There are cases where cycle types are same but the conjugacy classes are different
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** 순환마디 형태가 같으나, 서로 다른 켤레류에 있는 갈루아 군의 원소가 존재함
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* (정리) 체보타레프
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* <math>f(x)\in\mathbb{Z}[x]</math> : 갈루아 군이 G인 최고차항이 1인 기약다항식
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* $C$가 $G$의 켤레류라 하고, $S$를 아틴 심볼 $\sigma_{p}\in C$인 소수 $p$들의 집합이라 하자
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<math>f(x)\in\mathbb{Z}[x]</math> 는 갈루아군이 G인 기약다항식이라 하자.
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===정리===
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$S$의 밀도가 존재하며 이는 다음과 같이 주어진다
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Let C be a fixed conjugacy class of elements of G. Let S be the set of primes p whose Artin symbol <math>\sigma_{p}</math> equals C.
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:<math>\delta(S)=\frac{|C|}{|G|}</math>
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Then S has a density, and <math>\delta(S)=\frac{|C|}{|G|}</math>
 
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==밀도 정리를 통한 디리클레 정리의 유도==
 
==밀도 정리를 통한 디리클레 정리의 유도==
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<math>\zeta_n</math>는 primitive n-단위근이고 <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>라 하자.
 
<math>\zeta_n</math>는 primitive n-단위근이고 <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>라 하자.
  
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<math>\wp \subset K</math> 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자. 
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소수 p에 대한 아틴 심볼은  <math>\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp</math> 를 만족시키는 <math>\sigma_p \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)</math> 로 정의된다.
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소수 p에 대한 아틴 심볼은  <math>\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp</math> 를 만족시키는 <math>\sigma_p \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)</math> 로 정의된다.
  
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p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.
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p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.
  
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한편 <math>\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b</math> 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다.
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따라서 체보타레프 정리에 의해 디리클레 정리가 증명된다.
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==메모==
 
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* http://www.mat.uniroma3.it/scuola_orientamento/alumni/laureati/pesiri/sintesi.pdf  40~41p
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* [[수학사 연표]]
 
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* conjugate class - 켤레류, 공액류
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* cycle decomposition - 순환치환 분할
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* {{학술용어집|url=conjugate}}
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** 켤레, 공액
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* {{학술용어집|url=conjugacy}}
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** 켤레변형, 공액연산자
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* {{학술용어집|url=cycle}}
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** 순환마디, 순환치환, 사이클
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==관련된 항목들==
  
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==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
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* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]
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* [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]]
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* [[유한체에서 정수계수 다항식의 분해(코드)]]
  
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===관련된 학부 과목===
 
* [[초등정수론]]
 
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* [[갈루아 이론]]
 
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==관련된 대학원 과목==
 
  
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* [[대수적수론]]
 
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==관련된 항목들==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Chebotarev's_density_theorem
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* [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_element
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* [[유한체에서 정수계수 다항식의 분해(코드)]]
 
  
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==관련도서==
 
==관련도서==
  
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*  M.D. Fried, [http://www.springerlink.com/content/q24101/?p=d8bd978aaebc44bbb85ea3fca8b56fe9&pi=0 Field Arithmetic]<br>
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*  M.D. Fried, [http://www.springerlink.com/content/q24101/?p=d8bd978aaebc44bbb85ea3fca8b56fe9&pi=0 Field Arithmetic]
 
** chapter 6. [http://www.springerlink.com/content/px3637176w5h5542/ The Chebotarev Density Theorem]
 
** chapter 6. [http://www.springerlink.com/content/px3637176w5h5542/ The Chebotarev Density Theorem]
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* http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
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==위키링크==
 
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Chebotarev%27s_density_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Chebotarev's_density_theorem]
 
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*  http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_element
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
  
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==관련논문==
 
  
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* [http://www.springerlink.com/content/b66l342427127596/ ][http://www.springerlink.com/content/b66l342427127596/ Frobenius and his Density theorem for primes] B. Sury, Springer India,  Volume 8, Number 12 / 2003년 12월<br>
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* [http://www.springerlink.com/content/b66l342427127596/ Frobenius and his Density theorem for primes] B. Sury, Springer India, Volume 8, Number 12 / 2003년 12월
 
** http://www.ias.ac.in/resonance/Dec2003/pdf/Dec2003p33-41.pdf
 
** http://www.ias.ac.in/resonance/Dec2003/pdf/Dec2003p33-41.pdf
 
* [http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/Lenstra-Chebotarev.pdf The Chebotarev Density Theorem] Hendrik Lenstra
 
* [http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/Lenstra-Chebotarev.pdf The Chebotarev Density Theorem] Hendrik Lenstra

2013년 8월 28일 (수) 17:34 판

개요

  • density 정리란 prime ideal (또는 주어진 다항식 mod p) 의 분해와 프로베니우스 원소(혹은 아틴 심볼)의 cycle 구조와의 관계와 그 비율에 관한 정리.
  • 갈루아 체확장 L/K



프로베니우스의 밀도 정리

  • prime ideal과 순환마디 형태의 관계
  • \(f(x)\in\mathbb{Z}[x]\) : 갈루아 군이 G인, 차수가 $n$이고 최고차항이 1인 기약다항식
  • $f$의 서로 다른 해를 $\alpha_1,\cdots, \alpha_n$으로 두면, $G$는 치환군 $S_n$의 부분집합으로 볼 수 있다
  • 소수 $p$에 대하여, $f(x) \pmod p$의 인수분해로부터 $n$의 분할 \(n_1,n_2,\cdots,n_r\)가 정의된다

정리

  • 분해 형태가 \(n_1,n_2,\cdots,n_r\)인 소수 $p$의 집합은 밀도를 가지며, 밀도는 $N/\operatorname{Gal}(f)$으로 주어진다

여기서 \[N =|\{a \in \operatorname{Gal}(f) : \sigma\text{ has a cycle pattern } n_l,n_2,\cdots,n_r\}|\]


체보타레프의 밀도 정리

  • prime ideal과 켤레류의 관계
    • 프로베니우스의 정리보다 더 강력함
    • 순환마디 형태가 같으나, 서로 다른 켤레류에 있는 갈루아 군의 원소가 존재함
  • \(f(x)\in\mathbb{Z}[x]\) : 갈루아 군이 G인 최고차항이 1인 기약다항식
  • $C$가 $G$의 켤레류라 하고, $S$를 아틴 심볼 $\sigma_{p}\in C$인 소수 $p$들의 집합이라 하자

정리

$S$의 밀도가 존재하며 이는 다음과 같이 주어진다 \[\delta(S)=\frac{|C|}{|G|}\]


밀도 정리를 통한 디리클레 정리의 유도

\(\zeta_n\)는 primitive n-단위근이고 \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)라 하자.

\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.

소수 p에 대한 아틴 심볼은 \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시키는 \(\sigma_p \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)\) 로 정의된다.

p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.

한편 \(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다.

따라서 체보타레프 정리에 의해 디리클레 정리가 증명된다.



메모



역사

  • 1880 프로베니우스의 밀도 정리
  • 1922 체보타레프의 밀도 정리
  • 1927 아틴 상호 법칙
  • 수학사 연표



수학용어번역

  • conjugate class - 켤레류, 공액류
  • cycle decomposition - 순환치환 분할
  • conjugate - 대한수학회 수학용어집
    • 켤레, 공액
  • conjugacy - 대한수학회 수학용어집
    • 켤레변형, 공액연산자
  • cycle - 대한수학회 수학용어집
    • 순환마디, 순환치환, 사이클



관련된 항목들


관련된 학부 과목


관련된 대학원 과목



사전 형태의 자료



관련도서



리뷰, 에세이, 강의노트

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