"미디의 정리(Midy's theorem)"의 두 판 사이의 차이

2014년 5월 26일 (월) 21:13 판

개요

'142857의 신비'에서처럼 142857과 같은 수를 적당한 자리마다 쪼개어 더했을때 9가 많이 나타나는 현상에 대한 일반적인 이해
- 1+8=4+5=2+7=9
- 142 + 857=999
- 428 + 571=999
- 285 + 714=999
- 857 + 142=999
- 571 + 248=999
- 712 + 485=999
- 14+28+57=99
- 42+85+71=198=2*99
여기서 142857과 같은 수란 cyclic numbers 를 의미한다
대부분의 성질은 순환군 을 통하여 이해할 수 있다
더 구체적으로는 $\mathbb{Z}_p^{x}$에서 10^k 꼴의 원소로 생성되는 부분군과 그 coset 의 원소들의 합을 구하는 문제로 이해할 수 있다

순환마디의 길이가 2의 배수일때

정리

소수 p에 대하여, 분수 a/p ($1\leq a \leq p-1$) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 $a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}$ 라 하자. 다음이 성립한다 \[1\leq i \leq n\] 에 대하여, $a_{i} + a_{i+n}=9$ 또한 $a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99$(n개의 9) 가 성립한다.

증명

분수 a/p ($1\leq a \leq p-1$) 를 생각하자.

$g_k \equiv a10^k \pmod p$ 를 만족시키는 $1\leq g_k \leq p-1$, $(k=0,1,\cdots,2n-1)$를 정의하자. $g_0=a$ 이다.

분수 a/p의 순환마디의 길이가 2n이면, $10^n \equiv -1 \pmod p$ 가 성립하므로, $g_n=p-a$ 임을 안다.

$a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_0}{p}=\frac{(g_0+g_n)(10^n-1)}{p}=10^n-1$ ■

예 : 1176470588235294

p=17
2/17 = 0.11764705882352941176470588235294...
11764705 + 88235294 = 99999999
이 경우엔 위의 증명에서 $g_k$ 로 쓰인 수는 2, 3, 13, 11, 8, 12, 1, 10, 15, 14, 4, 6, 9, 5, 16, 7 로 주어진다

순환마디의 길이가 3의 배수일 때

정리

소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 $a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}$ 라 하자. 다음이 성립한다. \[a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\]

증명

순환마디의 길이가 3n인 분수 1/p 를 생각하자.

$g_k \equiv 10^k \pmod p$, $0\leq g_k \leq p-1$ 라 정의하자. $g_0=1$ 이다.

$g_{2n} \equiv g_n^2 \pmod p$, $g_n^3 \equiv 1 \pmod p$ 이므로, $g_0+g_n+g_{2n}\equiv 1+g_n+g_n^2=(g_n^3-1)/(g_n-1)\equiv 0 \pmod p$ 이다.

따라서 $g_0+g_n+g_{2n}=p$ 또는 $g_0+g_n+g_{2n}=2p$가 성립한다.

그러나 $1\leq g_k \leq p-1$ 이므로 $1+g_n+g_{2n}=2p$일 수 없다. 따라서 $g_0+g_n+g_{2n}=p$

$a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_{2n}}{p}+\frac{g_{2n} 10^n-g_{0}}{p}=\frac{(g_0+g_n+g_{2n})(10^n-1)}{p}=10^n-1$ ■

일반적으로 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이라고 하자.
분수 a/p ($1\leq a \leq p-1$) 또는 (p-a)/p ($1\leq a \leq p-1$) 의 순환소수전개를 생각하자.
둘 중의 하나는 $a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99$
다른 하나는, $a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=2* 99\cdots 99$ 를 만족한다

예 : 052631578947368421

p=19
- 1/19=0.052631578947368421052...
- 52631+578947+368421=999999
p=7
- 3/7 = 0.4285714286...
- 42+ 85+71=198
- 4/7 = 0.5714285714
- 57+14+28=99

역사

1836년 미디
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사 연표

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWNhZDQwN2MtNjMyMS00ZDc2LTgzZTQtMzFmMTQxYWFmZWM0&sort=name&layout=list&num=50

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

A Curious String of Nines
- Hans Liebeck,
- The Mathematical Gazette, Vol. 85, No. 504 (Nov., 2001), pp. 431-438

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 * 여기서 142857과 같은 수란 [[cyclic numbers]] 를 의미한다
 * 대부분의 성질은 [[순환군]] 을 통하여 이해할 수 있다
-*  더 구체적으로는 Z_p^{x} 에서 10^k 꼴의 원소로 생성되는 부분군과 그 coset 의 원소들의 합을 구하는 문제로 이해할 수 있다<br>
+*  더 구체적으로는 $\mathbb{Z}_p^{x}$에서 10^k 꼴의 원소로 생성되는 부분군과 그 coset 의 원소들의 합을 구하는 문제로 이해할 수 있다
 ==순환마디의 길이가 2의 배수일때==
-*  소수 p에 대하여, 분수 a/p  (<math>1\leq a \leq p-1</math>) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 <math>a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}</math> 라 하자.:<math>1\leq i \leq n</math> 에 대하여, <math>a_{i} + a_{i+n}=9</math> 이 성립한다.<br> 또한 <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99</math>(n개의 9) 가 성립한다.<br>
+;정리
+소수 p에 대하여, 분수 a/p  (<math>1\leq a \leq p-1</math>) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 <math>a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}</math> 라 하자. 다음이 성립한다
+:<math>1\leq i \leq n</math> 에 대하여, <math>a_{i} + a_{i+n}=9</math>
+또한 <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99</math>(n개의 9) 가 성립한다.
+;증명
-(증명)
+분수 a/p  (<math>1\leq a \leq p-1</math>) 를 생각하자.
-분수 a/p  (<math>1\leq a \leq p-1</math>) 를 생각하자.
 <math>g_k \equiv a10^k \pmod p</math> 를 만족시키는 <math>1\leq g_k \leq p-1</math>, <math>(k=0,1,\cdots,2n-1)</math>를 정의하자. <math>g_0=a</math> 이다.
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 <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_0}{p}=\frac{(g_0+g_n)(10^n-1)}{p}=10^n-1</math> ■
 ==예 : 1176470588235294==
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 * 이 경우엔 위의 증명에서 <math>g_k</math> 로 쓰인 수는 2, 3, 13, 11, 8, 12, 1, 10, 15, 14, 4, 6, 9, 5, 16, 7 로 주어진다
 ==순환마디의 길이가 3의 배수일 때==
-*  소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 <math>a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}</math> 라 하자.:<math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99</math> 가 성립한다<br>
+;정리
+소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 <math>a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}</math> 라 하자. 다음이 성립한다.
+:<math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99</math>
-(증명)
+;증명
 순환마디의 길이가 3n인 분수 1/p 를 생각하자.
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 <math>g_k \equiv 10^k \pmod p</math>, <math>0\leq g_k \leq p-1</math> 라 정의하자. <math>g_0=1</math> 이다.
-<math>g_{2n} \equiv g_n^2 \pmod p</math>, <math>g_n^3 \equiv 1 \pmod p</math>  이므로, <math>g_0+g_n+g_{2n}\equiv 1+g_n+g_n^2=(g_n^3-1)/(g_n-1)\equiv 0 \pmod p</math> 이다.
+<math>g_{2n} \equiv g_n^2 \pmod p</math>, <math>g_n^3 \equiv 1 \pmod p</math>  이므로, <math>g_0+g_n+g_{2n}\equiv 1+g_n+g_n^2=(g_n^3-1)/(g_n-1)\equiv 0 \pmod p</math> 이다.
 따라서 <math>g_0+g_n+g_{2n}=p</math> 또는 <math>g_0+g_n+g_{2n}=2p</math>가 성립한다.
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 <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_{2n}}{p}+\frac{g_{2n} 10^n-g_{0}}{p}=\frac{(g_0+g_n+g_{2n})(10^n-1)}{p}=10^n-1</math> ■
-*  일반적으로 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이라고 하자.<br> 분수 a/p  (<math>1\leq a \leq p-1</math>) 또는 (p-a)/p  (<math>1\leq a \leq p-1</math>) 의 순환소수전개를 생각하자.<br> 둘 중의 하나는 <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99</math><br> 다른 하나는, <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=2* 99\cdots 99</math> 를 만족한다<br>
+*  일반적으로 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이라고 하자.<br> 분수 a/p  (<math>1\leq a \leq p-1</math>) 또는 (p-a)/p  (<math>1\leq a \leq p-1</math>) 의 순환소수전개를 생각하자.<br> 둘 중의 하나는 <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99</math><br> 다른 하나는, <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=2* 99\cdots 99</math> 를 만족한다<br>
 ==예 : 052631578947368421==
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 **  57+14+28=99<br>
 ==역사==
@@ 97번째 줄: / 92번째 줄: @@
 * [[수학사 연표]]
-==메모==
 ==관련된 항목들==
@@ 111번째 줄: / 100번째 줄: @@
 * [[합동식 (모듈로 modulo 연산)]]
-==수학용어번역==
-*  단어사전<br>
-** http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-** http://ko.wiktionary.org/wiki/
-* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=coset
-* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWNhZDQwN2MtNjMyMS00ZDc2LTgzZTQtMzFmMTQxYWFmZWM0&sort=name&layout=list&num=50
-* http://demonstrations.wolfram.com/FractionalGraphsAndFlowers/
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
-* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
-* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
-==사전 형태의 자료==
+==사전 형태의 자료==
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * [http://en.wikipedia.org/wiki/Midy%27s_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Midy's_theorem]
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-* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
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-==리뷰논문과 에세이==
+==리뷰, 에세이, 강의노트==
 * [http://www.jstor.org/stable/3621748 A Curious String of Nines]<br>
@@ 170번째 줄: / 123번째 줄: @@
 ** <cite>The Mathematical Gazette</cite>, Vol. 85, No. 504 (Nov., 2001), pp. 431-438
 ==관련논문==
@@ 181번째 줄: / 129번째 줄: @@
 * A. Gupta and B. Sury, [http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/f19/f19.pdf Decimal expansion of 1/p and subgroup sums], Integers: Electronic Journal Of Combinatorial Number Theory 5 (2005),
 * Brian D. Ginsberg [http://www.jstor.org/stable/4146879 Midy's (Nearly) Secret Theorem: An Extension after 165 Years], <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 35, No. 1 (Jan., 2004), pp. 26-30
 * M. Shrader-Frechette, Complementary Rational Numbers, Math. Mag., 51 (1978) 90–98.
-* E. Midy, De quelques proprietes des nombres et des fractions decimals periodiques, Nantes, (1836), 21 pages.
+* E. Midy, De quelques proprietes des nombres et des fractions decimals periodiques, Nantes, (1836), 21 pages.
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
-* http://www.ams.org/mathscinet
-* http://dx.doi.org/