"데데킨트 에타함수"의 두 판 사이의 차이

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<math>q=e^{-t}</math> 으로 두면 <math>t\to 0</math> 일 때,
 
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더 일반적으로 <math>h,k</math>가 서로 소인 자연수일때
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더 일반적으로, <math>h,k</math>가 서로 소인 자연수일때, <math>q=\exp(\frac{2\pi ih}{k})e^{-t}</math> 이고 <math>t\to 0</math> 이면
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:<math>\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim  \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}</math>
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<math>q=\exp(\frac{2\pi ih}{k})e^{-t}</math> 이고 <math>t\to 0</math> 이면
 
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<math>\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim  \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}</math>
 
  
 
이 성립한다. 여기서 <math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]
 
이 성립한다. 여기서 <math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]

2013년 4월 3일 (수) 03:08 판

개요

 

 

모듈라 성질

  • (정리)\[\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi i}{12}}\eta(\tau)\]\[\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})\]
    여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택
  • 더 일반적으로, \(ad-bc=1\), \(c>0\)인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다 \[\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)\]
    여기서, \[\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}\] \[s(h,k)\]는 데데킨트 합

 

 

유리수점(cusp) 근처에서의 변화

(정리)

\(q=e^{-t}\) 으로 두면 \(t\to 0\) 일 때, \[\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)\sim \sqrt\frac{2\pi}{t}\exp(-\frac{\pi^2}{6t})\]  

(증명)

분할수의 생성함수(오일러 함수)에서 \(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\) 이고  \[\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})\]

임을 증명하였다. ■

 

더 일반적으로, \(h,k\)가 서로 소인 자연수일때, \(q=\exp(\frac{2\pi ih}{k})e^{-t}\) 이고 \(t\to 0\) 이면 \[\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}\]

이 성립한다. 여기서 \(s(h,k)\)는 데데킨트 합

 

 

세타함수 형태의 표현

 

 

초기하급수 형태의 표현

  • q-초기하급수(q-hypergeometric series)의 오일러 공식\[\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]
  • \(z=-q\)로 두면, 데데킨트 에타함수의 다음과 같은 표현을 얻는다\[\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\]

 

 

판별식함수

\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

 

 

special values

\(\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8} \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(\frac{i}{2})=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}\)

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련도서

 

 

관련논문

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