Q-이항계수 (가우스 다항식)

 

 

개요

• 이항계수의 q-analogue
  
• 가우스 다항식(Gaussian polynomial)으로 불리기도 한다
  

 

 

 

 

양자평면

• 세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의
  \(xy=qyx,xq=qx,yq=qy\)
  
• 거듭제곱의 전개
  \((x+y)=x+y\)
  \((x+y)^2=x^2+(1+q)xy+y^2\)
  \((x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y+(1+q+q^2)xy^2+y^3\)
  \((x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\)
  

 

 

 

 

q-이항계수

• 정의
  \({n \choose r}_q={{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\)
  
• 예
  \({4 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3\)
  \({4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4\)
  \({5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4\)
  \({5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\)
  
• \(n\)이 작을 경우에 대한 q-이항계수의 목록 참조

 

 

점화식

• 이항계수와 조합에서 얻은 식의 q-analogue
  \({n\choose r-1}_q+q^r{n\choose r}_q={n+1\choose r}_q\)
  
• 예 q-이항계수의 목록 항목 참조
  \({4\choose 1}_q+q^2{4\choose 2}_q={5\choose 2}_q\)
  \(1+q+q^2+q^3+q^2(1+q+2q^2+q^3+q^4)=1+q+q^2+q^3+q^4+q^2(1+q+q^2+q^3+q^4)=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\)
  

 

 

 

재미있는 사실

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표
•  

 

 

 

 

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

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관련기사

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