분할의 rank와 crank

개요

• 라마누잔(1887- 1920)의 자연수의 분할수(integer partitions)에 대한 발견
• 분할수가 만족시키는 합동식

\[p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5\]\[p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7\]\[p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}\]

• 이를 통계적인 분포로 자연스럽게 설명하기 위하여 분할의 rank와 crank의 개념이 도입
• 프리먼 다이슨과 그 후속 연구로 발전

 

 

9의 분할의 경우

• 9의 분할에는 30개가 있다
• 각 분할에 대하여 rank를 구해보면 다음과 같이 분포되어 있다
  
  • 8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8
• 이에 mod 5를 취하면,
  
  • 3, 1, 0, 4, 4, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 4, 3, 0, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 4, 2
• 0,1,2,3,4 각각의 잉여류에 모두 6개씩의 분할이 들어있음을 알 수 있다.
• crank에 대해서도 마찬가지 분포를 얻을 수 있다

 

 

rank와 crank

• 분할의 rank = 분할에서 가장 큰 수 - 분할의 크기
• 예
  
  • 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, rank=7-3=4
  • 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, rank=4-4=0
• 분할의 crank
  
  • 분할에서 가장 큰 수 (1이 포함되지 않는 분할의 경우)
  • 분할에서 "1의개수"보다 큰 수 - 1의 개수 (1이 포함되는 경우)
• 예
  
  • 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, crank=1-2=-1
  • 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, crank=2-2=0
• 9의 분할수 = 30
  
  • 분할
    {{9}, {8, 1}, {7, 2}, {7, 1, 1}, {6, 3}, {6, 2, 1}, {6, 1, 1, 1}, {5,   4}, {5, 3, 1}, {5, 2, 2}, {5, 2, 1, 1}, {5, 1, 1, 1, 1}, {4, 4, 1}, {4, 3, 2}, {4, 3, 1, 1}, {4, 2, 2, 1}, {4, 2, 1, 1, 1}, {4, 1, 1, 1, 1, 1}, {3, 3, 3}, {3, 3, 2, 1}, {3, 3, 1, 1, 1}, {3, 2, 2, 2}, {3, 2, 2, 1, 1}, {3, 2, 1, 1, 1, 1}, {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 2, 2, 1}, {2, 2, 2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}}
    
  • rank
    {8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8}
    이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
    
  • crank
    {9,0,7,-1,6,1,-2,5,1,5,-1,-3,1,4,0,2,-2,-5,3,2,-3,3,-1,-4,-6,3,-3,-5,-7,-9}
    이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
    
• 자연수의 분할(partition)과 rank 목록

 

 

crank

• vector partition

 

 

역사

• 1944 프리먼 다이슨의 추측
• 1954 애킨(Atkin)-스위너톤-다이어 : 다이슨 추측은 참이다
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표
•  

 

 

 

 

 

 

수학용어번역

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=

 

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_of_a_partition

관련논문

• The f(q) mock theta function conjecture and partition ranks
  
  • Kathrin Bringmann and Ken Ono, Inventiones Mathematicae Volume 165, Number 2, 2006
• Ramanujan's congruences and Dyson's crank
  
  • George E. Andrews and Ken Ono, PNAS October 25, 2005 vol. 102 no. 43 15277
• Dyson's crank of a partition
  
  • George E. Andrews and F. G. Garvan, Source: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 18, Number 2 (1988), 167-171
• Some guesses in the theory of partitions
  
  • Dyson, F., Eureka (Cambridge) 8, 10–15 (1944)