"Q-이항계수 (가우스 다항식)"의 두 판 사이의 차이

2011년 5월 13일 (금) 04:17 판

세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의
\(xy=qyx,xq=qx,yq=qy\)
거듭제곱의 전개
\((x+y)=x+y\)
\((x+y)^2=x^2+(1+q)xy+y^2\)
\((x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y+(1+q+q^2)xy^2+y^3\)
\((x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\)
여기서 등장하는 계수들을 q-이항계수로 정의하고자 한다

정의
\({n \choose r}_q={{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\)
풀어쓰면 다음과 같다
\({n \choose r}_q=\frac{(1-q^n)\cdots(1-q^{n-r+1})}{(1-q^r)\cdots(1-q^{1})}\)
예
\({4 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3\)
\({4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4\)
\({5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4\)
\({5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\)
\(n\)이 작을 경우에 대한 q-이항계수의 목록 참조

이항계수와 조합에서 얻은 식의 q-analogue
\({n\choose r-1}_q+q^r{n\choose r}_q={n+1\choose r}_q\)
예 q-이항계수의 목록 항목 참조
\({4\choose 1}_q+q^2{4\choose 2}_q={5\choose 2}_q\)
\(1+q+q^2+q^3+q^2(1+q+2q^2+q^3+q^4)=1+q+q^2+q^3+q^4+q^2(1+q+q^2+q^3+q^4)=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\)

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 *  이항계수의 q-analogue<br>
 *  가우스 다항식(Gaussian polynomial)으로 불리기도 한다<br>
+* [[q-이항계수의 목록]]<br>
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 <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모</h5>
+* http://www.wolframalpha.com/input/?i=q-binomial+coefficient<br>
+* http://mathworld.wolfram.com/q-BinomialCoefficient.html<br>