무리수와 디오판투스 근사

개요

• 슬로건
  • 어떤 수가 유리수로 근사가 잘 되면, 무리수임을 보일 수 있다
  • 어떤 수가 유리수로 근사가 매우 잘 되면, 초월수임을 보일 수 있다

유리수의 성질

• $\alpha$가 유리수라고 하자. 적당한 정수 $q_0>0$가 존재하여, 모든 $p,q>0\in \mathbb{Z}$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다

$$ |\alpha-\frac{p}{q}|\geq \frac{1}{qq_0} $$

디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)

• 디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)에서 가져옴
  무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식 \[|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2}\]

는 무한히 많은 유리수 \(p/q\)에 의하여 만족된다.

• 더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠 정리)
  무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식\[|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\]
  는 무한히 많은 유리수\(p/q\) 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)
  
• 연분수 항목 참조
  

무리수 판정

• 모든 n에 대하여, $\frac{p_n}{q_n}\neq \alpha$, $q_n>0$이고,

$$\lim_{n\to \infty}q_n\to \infty$$ 인 유리수열 $\{\frac{p_n}{q_n}\}$이, 적당한 $\delta>0$에 대하여 부등식 \[|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}},\quad n=1,2,\cdots\]을 만족하면, $\alpha$는 무리수이다

증명

$\alpha$가 유리수이면, $$\liminf_{n\to \infty} |q_n\alpha-p_n|>0$$ 이 성립한다. 한편 $$|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}} \iff |q_n\alpha-p_n|<\frac{1}{q_n^{\delta}}$$ 이고, $n\to \infty$ 일 때, $\frac{1}{q_n^{\delta}}\to 0$이므로 모순.

리우빌 정리

• 리우빌 정리 (1844)
  

무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 와 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여, 부등식 \[ \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}\]
의 유리수해 \(p/q\)의 개수는 유한하다

• 리우빌 정리의 또다른 버전
  무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, 적당한 상수 \(c(\alpha)>0\)가 존재하여, 모든 유리수 \(p/q\)에 대하여 다음 부등식이 만족된다. \[ \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{c(\alpha)}{q^{d}}\]
  

리우빌 상수

• 이 정리를 사용하여, 리우빌 상수 c가 초월수임을 증명할 수 있다

\[c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots\]

• 다음과 같은 정수열을 정의하자

$$p_n = \sum_{j=1}^n 10^{n! - j!}; \quad q_n = 10^{n!}$$

• 다음의 부등식이 성립한다

$$\left|c - \frac{p_n}{q_n}\right| = \sum_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + \cdots < 10\cdot10^{-(n+1)!} \le \Big(10^{-n!}\Big)^n = \frac{1}{{q_n}^n}$$

Thue-Siegel-Roth 정리

• 주어진 \(\epsilon>0\)에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식 \[\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}\]

을 만족시키는 유리수 \(p/q\) 의 개수는 유한하다

역사

• 1844 리우빌
  
• 1909 Thue
  
• 1921 지겔
  
• 1955 Roth (1958년 필즈메달)
  
• 수학사 연표

관련된 항목들

• 황금비
  

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_approximation
• http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number

관련논문

• Diophantine Approximation: historical survey
  
  • From Introduction to Diophantine methods course by Michel Waldschmidt.
  • Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence