타원 모듈라 λ-함수

개요

• \(\lambda(\tau)=k^2(\tau)\) 는 타원적분의 modulus라고 불리며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
  
  • \(k(\tau)\)에 대해서는 타원적분의 singular value k 참조
    
• 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 \(j\)-불변량(타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant))에 그 자리를 내줌
• level 2 인 congruence 모듈라 군(modular group) \(\Gamma(2)\)에 대한 모듈라 함수가 됨\[\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}\]
  

 

 

세타함수와의 관계

• 자코비 세타함수

\[k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\] \[\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}\]

• 푸리에 전개

$$ \lambda(\tau)=16 q - 128 q^2 + 704 q^3 - 3072 q^4 + 11488 q^5 - 38400 q^6, \quad q=e^{\pi i \tau} $$

 

바이어슈트라스 타원함수와의 관계

• 바이어슈트라스 타원함수 ℘

\[\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\]

• \(\tau=\omega_2/\omega_1\) 로 두면, 다음을 얻는다

\[\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}\]
여기서 \[e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)\]\[e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\]\[e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\]

• \(e_1,e_2,e_3,\infty\) 네 점의 교차비로 이해할 수 있음
  
• 사영기하학과 교차비 항목 참조
• \(z_4=\infty\) 인 경우\[(z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}\]
  

 

 

모듈라군에 의한 변환

• 모듈라 군(modular group)에 의한 변환
  
• 생성원\[S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
  
• \(T: \tau \to \tau+1\)에 의한 변화\[\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1+\omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix}\]\[e_1'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1\]\[e_2'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3\]\[e_3'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2\]\[\lambda(\tau+1)=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}\]
  
• \(S: \tau \to -\frac{1}{\tau}\)에 의한 변화\[\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}\]\[e_1'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2\]\[e_2'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1\]\[e_3'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3\]\[\lambda(-\frac{1}{\tau})=\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}=1-\lambda(\tau)\]
  
• 따라서 모듈라 군(modular group)에 의해, 다음과 같은 값을 취할 수 있게 된다

\[ \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}\]

• 이러한 표현은 교차비(cross ratio)에서 등장함
  
• \(\Gamma/\Gamma(2)\)
  

 

타원 모듈라 j-함수와의 관계

• 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)
  

\[j(\tau)=256\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2}\]

(증명) $k=e^{\frac{2 i \pi }{3}}$로 두고, 다음과 같은 함수를 생각하자. $$ (\lambda(\tau)+k)( {1\over\lambda(\tau)}+k)({1\over{1-\lambda(\tau)}}+k)( 1-\lambda(\tau)+k)( {\lambda(\tau)\over{\lambda(\tau)-1}}+k)( {{\lambda(\tau)-1}\over\lambda(\tau)}+k)=-\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2} $$ 모듈라군에 의한 변환에서 얻은 결과로 이 함수는 모듈라 군(modular group)에 의하여 불변임을 알 수 있다.

 

special values

\(\lambda(i\infty)=0\)

\(\lambda(0)=1\)

\(\lambda(1)=\infty\)

\(\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}\)

\(\lambda(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2}), \lambda(\frac {1+\sqrt{-3}}{2})\) 는 \(1-\lambda+\lambda^2=0\) 의 두 해

 

 

역사

• 수학사 연표

 

 

 

 

관련된 항목들

• 타원적분의 singular value k
• 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)
• 르장드르의 타원곡선 모임

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_lambda_function

 

관련도서

• [AHL1979]Lars Ahlfors, Complex Analysis , 3rd edition, McGraw-Hill, 1979
  
  • 7.3.4를 참고