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** Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 093508 (2008); doi:10.1063/1.2981311 | ** Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 093508 (2008); doi:10.1063/1.2981311 | ||
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** C.C. Grosjean, <em style="line-height: 2em;">J. Comput. Appl. Math.</em> '''11''' (1984), pp. 331–342 | ** C.C. Grosjean, <em style="line-height: 2em;">J. Comput. Appl. Math.</em> '''11''' (1984), pp. 331–342 | ||
* [http://dx.doi.org/10.1016/0377-0427%2884%2990007-4 On the Clausen integral Cl2(Θ) and a related integral] | * [http://dx.doi.org/10.1016/0377-0427%2884%2990007-4 On the Clausen integral Cl2(Θ) and a related integral] | ||
2013년 7월 10일 (수) 01:49 판
개요
- 정의\[\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\]
- 로그 사인 적분 (log sine integrals) 으로 일반화된다
- 로바체프스키 함수 와의 관계\[\operatorname{Cl}_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)\]
다이로그 함수와의 관계
- 다이로그 함수(dilogarithm)는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
\[\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\]
- \(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
- \(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때\[\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\]\[\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=\operatorname{Cl}_2(\theta)\]
- 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)
덧셈공식
\(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})\)
트리감마 함수와 special values
- \(\theta=p\pi/q\)일 때, (\(p,q\in\mathbb{N}\), \(p=1,2,\cdots,2q-1\))\[\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}\] 여기서 \(\psi^{(1)}\)는 트리감마 함수(trigamma function)
- \(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\), \(G\)는 카탈란 상수
- \(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))\)
- http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html
역사
메모
\(\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)\)
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Clausen_function
- http://mathworld.wolfram.com/ClausensIntegral.html
관련논문
- A dilogarithmic integral arising in quantum field theory
- Djurdje Cvijović, J. Math. Phys. 50, 023515 (2009)
- On a three-dimensional symmetric Ising tetrahedron and contributions to the theory of the dilogarithm and Clausen functions
- Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 043510 (2008); doi:10.1063/1.2902996
- Evaluation of a ln tan integral arising in quantum field theory
- Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 093508 (2008); doi:10.1063/1.2981311
- Formulae concerning the computation of the Clausen integral Cl2(θ)
- C.C. Grosjean, J. Comput. Appl. Math. 11 (1984), pp. 331–342
- On the Clausen integral Cl2(Θ) and a related integral
- P. J. de Doelder, J. Comput. Appl. Math. 11, 325 (1984)
- Efficient Calculation of Clausen's Integral
- Van E. Wood, Mathematics of Computation, Vol. 22, No. 104 (Oct., 1968), pp. 883-884