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F(x)&= \sum^{\infty}_{n=1} \left\{\frac{\Gamma^{\prime}(nx)}{\Gamma (nx)} -\log (nx)\right\} \frac{1}{n}\\ | F(x)&= \sum^{\infty}_{n=1} \left\{\frac{\Gamma^{\prime}(nx)}{\Gamma (nx)} -\log (nx)\right\} \frac{1}{n}\\ | ||
| + | & = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{\psi(n x) -\log (nx)}{n}\\ | ||
&= \int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t}\right)\log (1-e^{-xt})\, dt | &= \int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t}\right)\log (1-e^{-xt})\, dt | ||
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| + | 여기서 $\psi(x)$는 [[다이감마 함수(digamma function)]] | ||
* 실 이차수체에 대한 [[크로네커 극한 공식]]을 얻는데 활용됨 | * 실 이차수체에 대한 [[크로네커 극한 공식]]을 얻는데 활용됨 | ||
2013년 6월 12일 (수) 13:27 판
개요
- 다음과 같이 정의된 함수 $F:\mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}$
$$ \begin{align} F(x)&= \sum^{\infty}_{n=1} \left\{\frac{\Gamma^{\prime}(nx)}{\Gamma (nx)} -\log (nx)\right\} \frac{1}{n}\\ & = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{\psi(n x) -\log (nx)}{n}\\ &= \int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t}\right)\log (1-e^{-xt})\, dt \end{align} $$ 여기서 $\psi(x)$는 다이감마 함수(digamma function)
- 실 이차수체에 대한 크로네커 극한 공식을 얻는데 활용됨
성질
- 반전공식
$$ F(x)+F\left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}(x+\frac{1}{x})-\frac{1}{2}\log^2(x)+C_1 $$ 이 때 $C_1=1.45738783\cdots$는 상수
$$ F(x)-F(x-1)+F\left(\frac{x-1}{x} \right) =-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)+C_2 $$ 여기서 $\mbox{Li}_ 2$는 다이로그 함수(dilogarithm), $C_2=-0.91624015\cdots$는 상수
사전 형태의 자료
관련논문
- Masri, Riad. 2004. “The Herglotz–Zagier Function, Double Zeta Functions, and Values of L-series.” Journal of Number Theory 106 (2) (June): 219–237. doi:10.1016/j.jnt.2004.01.004.
- Zagier, Don. 1975. “A Kronecker Limit Formula for Real Quadratic Fields.” Mathematische Annalen 213 (2) (June 1): 153–184. doi:10.1007/BF01343950.