"외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)"의 두 판 사이의 차이
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2015년 4월 27일 (월) 17:56 판
개요
- \(\Lambda(V)\) : alternating algebra, exterior algebra, 그라스만 대수 라는 이름으로 불림
- 기하학에서 미분형식 을 정의하기 위한 대수적 장치
- 클리포드 대수 는 외대수의 일반화로 볼 수 있다
텐서 공간
- V : 유한차원 벡터공간
- \(V^{*}\) : V의 쌍대공간
- \(T=V\otimes \cdots \otimes V \cdots \otimes V^{*}\cdots \otimes V^{*}\) : 텐서공간
- \(T\) 의 원소를 텐서라 부른다
- \(V, V^{*}\) 에 대한 multilinear function 으로 이해할 수 있다
텐서 대수 tensor algebra
- \(T(V)\)
외대수 exterior algebra
- 정의 \(\Lambda(V) := T(V)/I\)
- \(\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)\)
- \(\alpha\in \Lambda^k(V), \beta\in \Lambda^p(V)\) 에 대하여 \(\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha\) 가 성립한다
외대수의 쌍대 공간
- \(v_1,\cdots, v_k \in V\), \(f_1,\cdots, f_k \in V^{*}\) 에 대하여, 다음과 같은 동형사상 \(\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}\)을 정의할 수 있다
\[\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)\]
- 따라서 \(\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})\)
- 외대수의 쌍대 공간은 교대 다중선형형식을 통해서도 이해할 수 있다
\[\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)\] 여기서 \(A^k(V)\)는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합
역사
메모
- http://mathoverflow.net/questions/54343/is-there-a-preferable-convention-for-defining-the-wedge-product
- http://mathoverflow.net/questions/1684/why-is-the-exterior-algebra-so-ubiquitous
- http://www.auburn.edu/~tamtiny/math7970-11f.html
- http://math.stackexchange.com/questions/157528/wedgekv-cong-mathrmaltkv?rq=1
관련된 항목들
수학용어번역
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- Fløystad, Gunnar. ‘The Exterior Algebra and Central Notions in Mathematics’. Notices of the American Mathematical Society 62, no. 04 (1 April 2015): 364–71. doi:10.1090/noti1234.