교대 다중선형형식

수학노트
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개요

  • 행렬식은 교대 다중선형형식의 예이다
  • $V$ : $\mathbb F$에서 정의된 유한 차원 벡터 공간
  • 다음 조건을 만족하는 다중선형형식(multilinear form) $f:V^k\to \mathbb F$를 교대 다중선형 k-형식(k-alternating form)이라 부른다

$$ f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=\operatorname{sgn}(\sigma)f(v_1,\cdots,v_k), \qquad \forall \sigma\in S_k $$

  • \(A^k(V)\)는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합
  • \(A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)\)


antisymmetrization 연산자

  • $\operatorname{Alt}$ 연산자
  • 다중선형형식 $\omega$로부터 교대 다중선형형식 $\operatorname{Alt}(\omega)$을 얻는 방법

$$ \operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\cdots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(k)}) $$


wedge product

  • $A(V)$에 정의된 결합법칙을 만족하는 곱셈 연산
  • $A(V)$는 대수(algebra) 구조를 갖게됨
  • 두 다중선형형식 $\omega, \eta$에 대하여, 다중선형형식 $\omega\otimes\eta$을 다음과 같이 정의하자

$$ (\omega\otimes\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \cdots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \cdots, x_{k+m}) $$

  • $\omega\in A^k(V),\, \eta\in A^m(V)$에 대하여, wedge product를 다음과 같이 정의

$$ \omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta) $$

  • 따라서

$$ \begin{align} (\omega\wedge\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma) (\omega\otimes\eta)(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})\\ &=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) \end{align} $$

$$ (\omega \wedge \eta)(x_1,\cdots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in S(k,m)} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) $$ 여기서 $S(p,q)$는 (p,q)-셔플(shuffle)



교대 다중선형형식과 외대수의 쌍대 공간

  • $\Lambda^k(V)$의 쌍대 공간을 교대 다중선형형식을 통하여 이해할 수 있다

\[\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)\]


관련된 항목들


수학용어번역

  • multilinear - 대한수학회 수학용어집
  • alternating - 대한수학회 수학용어집
  • form - 대한수학회 수학용어집


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련도서

  • Spivak, Michael. 1971. Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus. Westview Press.