Herglotz–Zagier 함수

개요

• 다음과 같이 정의된 함수 $F:\mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}$

$$ \begin{align} F(x)&= \sum^{\infty}_{n=1} \left\{\frac{\Gamma^{\prime}(nx)}{\Gamma (nx)} -\log (nx)\right\} \frac{1}{n}\\ & = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{\psi(n x) -\log (nx)}{n}\\ &= \int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t}\right)\log (1-e^{-xt})\, dt \end{align} $$ 여기서 $\psi(x)$는 다이감마 함수(digamma function)

• 실 이차수체에 대한 크로네커 극한 공식을 얻는데 활용됨

점근 급수

• 다이감마 함수(digamma function)의 점근 급수로부터 다음을 얻는다 :

$x\to \infty$ 일 때, $$ F(x) \sim - \frac{\pi^2}{12x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}\zeta^(2n+1)}{2n(x^{2n})} = - \frac{\pi^2}{12x} -\frac{B_2}{2}\frac{\zeta(3)}{x^2}-\frac{B_4}{4}\frac{\zeta(5)}{x^4}+\cdots $$

성질

• 반전공식

$$ F(x)+F\left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}(x+\frac{1}{x})-\frac{1}{2}\log^2(x)+C_1 $$ 이 때 $C_1=1.45738783\cdots$는 상수

$$ F(x)-F(x-1)+F\left(\frac{x-1}{x} \right) =-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)+C_2 $$ 여기서 $\mbox{Li}_ 2$는 다이로그 함수(dilogarithm), $C_2=-0.91624015\cdots$는 상수

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Herglotz–Zagier_function

관련논문

• Masri, Riad. 2004. “The Herglotz–Zagier Function, Double Zeta Functions, and Values of L-series.” Journal of Number Theory 106 (2) (June): 219–237. doi:10.1016/j.jnt.2004.01.004.
• Zagier, Don. 1975. “A Kronecker Limit Formula for Real Quadratic Fields.” Mathematische Annalen 213 (2) (June 1): 153–184. doi:10.1007/BF01343950.