"Q-초기하급수의 점근 급수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
3번째 줄: 3번째 줄:
 
* <math>a>0,b\in\mathbb{R}</math>라 두자
 
* <math>a>0,b\in\mathbb{R}</math>라 두자
 
* $x>0$는 방정식 <math>1-x=x^{a}</math> 의 해라 하자.
 
* $x>0$는 방정식 <math>1-x=x^{a}</math> 의 해라 하자.
−
* <math>q=e^{-t}</math> 이고 $t\to 0$ 일 때, 다음의 점근 급수를 얻는다 '''[McIntosh1995]''' :<math>\log \sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \log\frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}}+\frac{\{\operatorname{Li}_2(x^{a})+\frac{a}{2}\log^2 x\}}{t}</math> 또는  
+
* <math>q=e^{-t}</math> 이고 $t\to 0$ 일 때, 다음의 점근 급수를 얻는다 '''[McIntosh1995]'''  
−
:<math>\log \sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \log \left(\frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}}\right) +(\frac{L(1-x)}{t})</math> 
+
:<math>\log \sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \log \left(\frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}}\right)+\frac{\{\operatorname{Li}_2(x^{a})+\frac{a}{2}\log^2 x\}}{t}</math> 또는  
 +
:<math>\log \sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \log \left(\frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}}\right) +(\frac{L(1-x)}{t})</math>  
 
여기서 $L$은 [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)]]
 
여기서 $L$은 [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)]]
  
  
 
==예==
 
==예==
−
 
+
*  $A=1/2$인 경우
−
*  A=1/2 (3,5) minimal model:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}}} {(q;q)_n}\sim \frac{2}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}-\frac{t}{40})</math>
+
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}}} {(q;q)_n}\sim \frac{2}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}-\frac{t}{40})</math>
−
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}}} {(q;q)_n} \sim \frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}+\frac{t}{40})</math><br>
+
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}}} {(q;q)_n} \sim \frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}+\frac{t}{40})</math>
−
 
+
*  $A=1$인 경우 [[베버(Weber) 모듈라 함수]]
−
*  A=1 (3,4) minimal model:<math>\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n^2/2}}{(q)_n}\sim \exp(\frac{\pi^2}{12t}-\frac{t}{48})</math>:<math>2\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt{2}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math>:<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math><br>
+
:<math>\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n^2/2}}{(q)_n}\sim \exp(\frac{\pi^2}{12t}-\frac{t}{48})</math>:<math>2\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt{2}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math>:<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math>
−
*  A=2 (2,5) minimal model [[로저스-라마누잔 항등식]]
+
*  $A=2$인 경우 [[로저스-라마누잔 항등식]]
 
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})</math>
 
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})</math>
−
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})</math><br>
+
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})</math>
−
 
 
−
 
 
  
−
 
 
  
−
 
 
  
 
==역사==
 
==역사==
  
−
 
+
  
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* [[수학사 연표]]
 
* [[수학사 연표]]
  
−
 
+
  
−
 
+
  
 
==메모==
 
==메모==
  
−
 
+
  
 
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
  
−
 
+
  
−
 
+
  
 
==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
49번째 줄: 46번째 줄:
 
* [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)]]
 
* [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)]]
  
−
 
+
  
−
 
+
  
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
57번째 줄: 54번째 줄:
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxODk1ZjBiYWEtYjMyOS00MDdmLTg1ZjItMTJhOTA0MzZmYmY5/edit
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxODk1ZjBiYWEtYjMyOS00MDdmLTg1ZjItMTJhOTA0MzZmYmY5/edit
  
−
 
+
  
 
==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
  
−
 
+
  
−
 
+
  
 
==관련논문==
 
==관련논문==
70번째 줄: 67번째 줄:
  
  
−
 
+
 
[[분류:q-급수]]
 
[[분류:q-급수]]

2013년 7월 12일 (금) 12:56 판

개요

  • \(a>0,b\in\mathbb{R}\)라 두자
  • $x>0$는 방정식 \(1-x=x^{a}\) 의 해라 하자.
  • \(q=e^{-t}\) 이고 $t\to 0$ 일 때, 다음의 점근 급수를 얻는다 [McIntosh1995]

\[\log \sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \log \left(\frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}}\right)+\frac{\{\operatorname{Li}_2(x^{a})+\frac{a}{2}\log^2 x\}}{t}\] 또는 \[\log \sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \log \left(\frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}}\right) +(\frac{L(1-x)}{t})\] 여기서 $L$은 로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)


예

  • $A=1/2$인 경우

\[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}}} {(q;q)_n}\sim \frac{2}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}-\frac{t}{40})\] \[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}}} {(q;q)_n} \sim \frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}+\frac{t}{40})\]

\[\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n^2/2}}{(q)_n}\sim \exp(\frac{\pi^2}{12t}-\frac{t}{48})\]\[2\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt{2}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\]\[\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\]

\[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})\] \[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})\]


역사



메모



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


리뷰논문, 에세이, 강의노트

관련논문

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=Q-초기하급수의_점근_급수&oldid=28160"