"라이네스 차분방정식"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
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* 점화식 <math>x_{n+1}=\frac{k+x_{n}}{x_{n-1}}</math> 로 정의되는 수열, 여기서 $k\in \mathbb{C}$
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* 복소수 $A\in \mathbb{C}$에 대하여, 다음의 점화식으로 정의되는 수열
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<math>x_{n+1}=\frac{A+x_{n}}{x_{n-1}}</math>  
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* $x_0=\alpha,x_1=\beta$로 두면, 다음과 같은 수열을 얻는다
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\alpha ,\beta ,\frac{A+\beta }{\alpha },\frac{A+A \alpha +\beta }{\alpha  \beta },\frac{A+A \alpha +\beta +A \alpha  \beta }{A \beta +\beta ^2},\frac{\alpha  \left(\beta +A \left(1+\alpha +(A+\alpha ) \beta +\beta ^2\right)\right)}{(A+\beta ) (A+A \alpha +\beta )},\frac{\beta  \left(A (1+\alpha ) \left(A^2+\alpha \right)+\left(\alpha +A \left(\alpha ^2+2 A (1+\alpha )\right)\right) \beta +A (1+\alpha ) \beta ^2\right)}{(A+A \alpha +\beta ) (\beta +A (1+\alpha +\alpha  \beta ))}
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==불변량==
 
* 다음은 $n\in \mathbb{Z}$에 의존하지 않는 불변량이다
 
* 다음은 $n\in \mathbb{Z}$에 의존하지 않는 불변량이다
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:<math>(k+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)</math>
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:<math>(A+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)</math>
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* k=1 인 경우, 차분방정식의 해는 주기5인 주기수열이 되며, [[5항 관계식 (5-term relation)]]에 등장함
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==특수한 경우==
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===$A=1$===
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* 차분방정식의 해는 주기5인 주기수열이 되며, [[5항 관계식 (5-term relation)]]에 등장함
 
* [[콕세터 프리즈]]
 
* [[콕세터 프리즈]]
 
[[파일:콕세터 프리즈4.png]]
 
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2013년 10월 27일 (일) 09:58 판

개요

  • 복소수 $A\in \mathbb{C}$에 대하여, 다음의 점화식으로 정의되는 수열

$$ \(x_{n+1}=\frac{A+x_{n}}{x_{n-1}}\) $$

  • $x_0=\alpha,x_1=\beta$로 두면, 다음과 같은 수열을 얻는다

$$ \alpha ,\beta ,\frac{A+\beta }{\alpha },\frac{A+A \alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{A+A \alpha +\beta +A \alpha \beta }{A \beta +\beta ^2},\frac{\alpha \left(\beta +A \left(1+\alpha +(A+\alpha ) \beta +\beta ^2\right)\right)}{(A+\beta ) (A+A \alpha +\beta )},\frac{\beta \left(A (1+\alpha ) \left(A^2+\alpha \right)+\left(\alpha +A \left(\alpha ^2+2 A (1+\alpha )\right)\right) \beta +A (1+\alpha ) \beta ^2\right)}{(A+A \alpha +\beta ) (\beta +A (1+\alpha +\alpha \beta ))} $$


불변량

  • 다음은 $n\in \mathbb{Z}$에 의존하지 않는 불변량이다

\[(A+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)\]


특수한 경우

$A=1$

콕세터 프리즈4.png


메모

 

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

  • Alperin, Roger C. 2011. “Integer Sequences Generated by $x_n+1=\frac {x^2_n+A}{x_n-1}$.” The Fibonacci Quarterly. The Official Journal of the Fibonacci Association 49 (4): 362–365. http://www.math.sjsu.edu/~alperin/IntegerA-Sequences.pdf
  • Lyness, R. C. 1961. “2952. Cycles.” The Mathematical Gazette 45 (353) (October 1): 207–209. doi:10.2307/3612778.
  • Lyness, R. C. 1945. “1847. Cycles.” The Mathematical Gazette 29 (287) (December 1): 231–233. doi:10.2307/3609268.
  • Lyness, R. C. 1942. “1581. Cycles.” The Mathematical Gazette 26 (268) (February 1): 62. doi:10.2307/3606036.

 

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