라이네스 차분방정식
개요
- 복소수 \(A\in \mathbb{C}\)에 대하여, 다음의 점화식을 Lyness 차분방정식이라 부른다
\[ x_{n+1}=\frac{A+x_{n}}{x_{n-1}} \label{lyn} \]
- \(x_0=\alpha,x_1=\beta\)와, 점화식 \ref{lyn}에 의해 다음과 같은 수열 \(\{x_n\}_{n\geq 0}\)을 얻는다
\[ \alpha ,\beta ,\frac{A+\beta }{\alpha },\frac{A+A \alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{A+A \alpha +\beta +A \alpha \beta }{A \beta +\beta ^2},\frac{\alpha \left(\beta +A \left(1+\alpha +(A+\alpha ) \beta +\beta ^2\right)\right)}{(A+\beta ) (A+A \alpha +\beta )},\cdots, \]
- \(A\in \mathbb{R}_{>0}\)일 때, \ref{lyn}로부터 유계인 수열을 얻는다
- \(A\in \mathbb{R}_{>0}\)일 때, \ref{lyn}은 평면 \(\mathbb{R}^2\)에 정의된 다음 변환과 관계 있으며, 이 변환의 동역학적 성질은 흥미로운 문제이다
\[ (x,y)\mapsto (y,\frac{A+y}{x}) \]
- \ref{lyn}에 의해 유리수열이 얻어질 때, 어떤 경우에 주기 수열을 얻을 수 있는지는 수론적으로 흥미로운 문제이다
불변량
- 점화식 \ref{lyn}에 의해 얻어진 수열 \(\{x_n\}_{n\geq 0}\)에 대하여, 다음은 \(n\in \mathbb{Z}\)에 의존하지 않는 불변량이다
\[C=(A+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)\]
평면에 정의된 변환
- \(A>0\)일 때, \(\phi : \mathbb{R}_{>0}^2 \to \mathbb{R}_{>0}^2\)를 다음과 같이 정의하자
\[ \phi(x,y):=(y,\frac{A+y}{x}) \]
- 다음의 함수는 \(\phi\)에 대한 불변량이다
\[ V(x,y)=\frac{(x + 1) (y + 1) (x + y + A)}{x y} \label{cq} \]
- \ref{cq}는 다음과 같은 등고선을 가지며, 이로부터 수열이 유계임을 확인할 수 있다
- \(\phi^{*}\omega=\omega\)이 성립한다. 여기서
\[ \omega=\frac{dx\wedge dy}{x y} \]
타원 곡선
- 점 \((x_0,y_0)\)가 곡선 \(F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0\)에 놓여 있는 경우, \((x_0',y_0')=(y,\frac{A+y}{x})\)도 \(F(x,y)=0\)에 놓여 있다
- 타원곡선 \(F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0\)을 통하여, 점화식 \ref{lyn}을 이해할 수도 있다
- \(x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}\)인 경우만을 생각할 때, 점화식 \ref{lyn}로부터 얻어지는 수열의 (최소)주기가 1,2,3,5,6,7,8,9,10,12가 되도록 하는 적당한 \(x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}\)를 찾을 수 있으며, 이와 다른 주기 (가령 4와 11)는 얻을 수 없다
특수한 경우
\(A=1\)
- 차분방정식의 해는 주기5인 주기수열이 되며, 5항 관계식 (5-term relation)에 등장함
\[ \alpha ,\beta ,\frac{1+\beta }{\alpha },\frac{1+\alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{1+\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots \]
\(A=0\)
- 다음과 같은 주기 6인 수열을 얻는다
\[ \alpha ,\beta ,\frac{\beta }{\alpha },\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta },\frac{\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots \]
메모
- Pentagramma Mirificum
- http://www.jstor.org/stable/2324138
- We show that if \(A \not= 1 \) then f is a twist map, with rotation numbers tending to 1/5 as the curves tend to infinity. Beukers and Cushman have shown that the rotation numbers are monotonic increasing if \(A < 1,\) and decreasing if \(A \gt 1.\) Using number theory we classify the periods of periodic orbits.
- 호프스태터의 나비
관련된 항목들
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수학용어번역
리뷰, 에세이, 강의노트
- Geometric Unfolding of a Difference Equation E. Christopher Zeeman, K.B., F.R.S. UT San Antonio, March 10, 1997 / Trinity University, March 17, 1997
관련논문
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