"수소 원자의 스펙트럼과 슈뢰딩거 방정식"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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여기서 $\Delta=(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})$는 [[라플라시안(Laplacian)]] 연산자, $\mu=\frac{m_e m_p}{m_e+m_p}\approx m_e$ 는 환산질량 (reduced mass)
 
여기서 $\Delta=(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})$는 [[라플라시안(Laplacian)]] 연산자, $\mu=\frac{m_e m_p}{m_e+m_p}\approx m_e$ 는 환산질량 (reduced mass)
 
* 전자의 파동함수 $\psi_{E}(x,y,z)$가 만족시키는 방정식, 즉 [[슈뢰딩거 방정식]] 을 쓰면, 해밀토니안 $\hat{H}$의 고유값 $E$ 에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다  
 
* 전자의 파동함수 $\psi_{E}(x,y,z)$가 만족시키는 방정식, 즉 [[슈뢰딩거 방정식]] 을 쓰면, 해밀토니안 $\hat{H}$의 고유값 $E$ 에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다  
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:<math> \hat{H} \psi_{E}= E \psi_{E}</math>
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:<math> \hat{H} \psi_{E}= E \psi_{E} \label{ei}
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:<math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2\mu}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\psi_{E}</math>
 
:<math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2\mu}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\psi_{E}</math>
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==구면좌표계와 변수분리==
 
==구면좌표계와 변수분리==
  
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* 라플라시안은 다음과 같이 쓸 수 있다
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* 라플라시안은 다음과 같이 나누어 쓸 수 있다
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:<math>\Delta =\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} </math>  여기서:<math>\Delta_{r}= \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}</math>:<math>\Delta_{S^2}= \frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)</math>
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:<math>\Delta =(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})=\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} </math>  여기서
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* [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 사용하자
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* 파동함수의 변수분리 <math>\psi_{E}=R(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)</math> 라 쓰면,:<math>\frac{\hbar^2}{2\mu}[-\Delta_{r}+\frac{l(l+1)}{r^2}]-\frac{ke^2}{r})R(r)=ER(r)</math>
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\Delta_{r}& = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r},\\
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\Delta_{S^2}&= \frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)
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* \ref{ei}를 만족하는 파동함수 $\psi_{E}$가 변수분리된 형태, 즉 <math>\psi_{E}=f(r)Y(\theta,\phi)</math> 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음이 성립한다
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\Delta_{S^2}Y(\theta,\phi)=\lambda Y(\theta,\phi),\\
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\left(-\frac{\hbar^2}{2\mu}[\Delta_{r}+\frac{\lambda}{r^2}]+V(r)\right)f(r)=Ef(r)
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* [[구면조화함수(spherical harmonics)]] $Y_{l}^{m}(\theta,\phi)$는 연산자 $\Delta_{S^2}$의 고유벡터이며, 고유치는 <math>-l(l+1)</math>이다. 즉, 다음을 만족한다
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:<math>\Delta_{S^2}Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=-l(l+1)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)</math>
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* 파동함수가 <math>\psi_{E}=f(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)</math> 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음 미분방정식을 얻는다
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:<math>\left(\frac{\hbar^2}{2\mu}[-\Delta_{r}+\frac{l(l+1)}{r^2}]-\frac{ke^2}{r}\right)f(r)=Ef(r)</math>
  
 
 
 
 

2013년 12월 15일 (일) 09:31 판

개요

  • 양성자와 전자로 구성된 시스템
    • 전자의 질량 $m_e$, 양성자의 질량 $m_p$, 전하 $e$
  • 3차원에서의 쿨롱 포텐셜 \[V(r) = -\frac{k e^2}{r}= -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\] 여기서 \(k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\)
  • 해밀토니안

$$ \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2\mu}\Delta + V(x,y,z) $$ 여기서 $\Delta=(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})$는 라플라시안(Laplacian) 연산자, $\mu=\frac{m_e m_p}{m_e+m_p}\approx m_e$ 는 환산질량 (reduced mass)

  • 전자의 파동함수 $\psi_{E}(x,y,z)$가 만족시키는 방정식, 즉 슈뢰딩거 방정식 을 쓰면, 해밀토니안 $\hat{H}$의 고유값 $E$ 에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다

\[ \hat{H} \psi_{E}= E \psi_{E} \label{ei} \] 또는 \[E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2\mu}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\psi_{E}\]

  • 보어의 수소원자모형을 수학적으로 설명한다
  • 스핀의 존재는 슈뢰딩거 방정식으로 설명되지 않는다


구면좌표계와 변수분리

  • 라플라시안은 다음과 같이 나누어 쓸 수 있다

\[\Delta =(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})=\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} \] 여기서 \[ \begin{aligned} \Delta_{r}& = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r},\\ \Delta_{S^2}&= \frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right) \end{aligned} \]

  • \ref{ei}를 만족하는 파동함수 $\psi_{E}$가 변수분리된 형태, 즉 \(\psi_{E}=f(r)Y(\theta,\phi)\) 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음이 성립한다

\[ \Delta_{S^2}Y(\theta,\phi)=\lambda Y(\theta,\phi),\\ \left(-\frac{\hbar^2}{2\mu}[\Delta_{r}+\frac{\lambda}{r^2}]+V(r)\right)f(r)=Ef(r) \]

\[\Delta_{S^2}Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=-l(l+1)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\]

  • 파동함수가 \(\psi_{E}=f(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\) 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음 미분방정식을 얻는다

\[\left(\frac{\hbar^2}{2\mu}[-\Delta_{r}+\frac{l(l+1)}{r^2}]-\frac{ke^2}{r}\right)f(r)=Ef(r)\]

 

양자 수와 교환자 관계식

  • 교환자 관계식

$$ [\hat{H},L^2]=[\hat{H},L_{z}]=0 $$ 여기서 \[L^2=-\hbar ^2 \left(\frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\right)\] \[L_{z}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi }\]

  • $\hat{H}$의 고유벡터를 $|n,\ell,m\rangle$로 표현할 수 있다

\[ L^2\, | n, \ell, m\rangle = {\hbar}^2 \ell(\ell+1)\, | n, \ell, m \rangle \] \[ L_z\, | n, \ell, m \rangle = \hbar m \,| n, \ell, m \rangle \]


역사

 

 

메모

 

관련된 항목들

     

사전 형태의 자료

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트


 

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