수소 원자의 스펙트럼과 슈뢰딩거 방정식

수학노트
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개요


전자의 파동함수와 슈뢰딩거 방정식

  • 양성자와 전자로 구성된 시스템
    • 전자의 질량 \(m_e\), 양성자의 질량 \(m_p\), 전하 \(e\)
  • 3차원에서의 쿨롱 포텐셜 \[V(r) = -\frac{k e^2}{r}= -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\] 여기서 \(k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\)
  • 해밀토니안

\[ \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x,y,z) \] 여기서 \(\Delta=(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})\)는 라플라시안(Laplacian) 연산자, \(m=\frac{m_e m_p}{m_e+m_p}\approx m_e\) 는 환산질량 (reduced mass)

  • 전자의 파동함수 \(\psi_{E}(x,y,z)\)가 만족시키는 방정식, 즉 슈뢰딩거 방정식 을 쓰면, 해밀토니안 \(\hat{H}\)의 고유값 \(E\) 에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다

\[ \hat{H} \psi_{E}= E \psi_{E} \label{ei} \] 또는 \[E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\psi_{E}\]


구면좌표계와 변수분리

  • 라플라시안은 다음과 같이 나누어 쓸 수 있다

\[\Delta =(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})=\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} \] 여기서 \[ \begin{aligned} \Delta_{r}& = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r},\\ \Delta_{S^2}&= \frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right) \end{aligned} \]

  • \ref{ei}를 만족하는 파동함수 \(\psi_{E}\)가 변수분리된 형태, 즉 \(\psi_{E}=f(r)Y(\theta,\phi)\) 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음이 성립한다

\[ \left\{ \begin{array}{c} \Delta_{S^2}Y(\theta,\phi)=\lambda Y(\theta,\phi), \\ \left(-\frac{\hbar^2}{2m}[\Delta_{r}+\frac{\lambda}{r^2}]+V(r)\right)f(r)=Ef(r) \end{array} \right. \]


각 방정식

\[\Delta_{S^2}Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=-l(l+1)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\] 이 때, \(l=0,1,2,\cdots \)

지름 방정식

  • 파동함수가 \(\psi_{E}=f(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\) 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음 미분방정식을 얻는다

\[\left(\frac{\hbar^2}{2m}[-\Delta_{r}+\frac{l(l+1)}{r^2}]-\frac{ke^2}{r}\right)f(r)=Ef(r)\]

  • 이를 다시 풀어쓰면, \(f\)는 다음을 만족한다

\[ f''(r)+\frac{2f'(r)}{r}+\left(\frac{2m}{\hbar^2}(E +\frac{k e^2 }{r})-\frac{l (l+1)}{r^2}\right)f(r) =0 \label{req} \]


지름 방정식의 해

  • 미분방정식 \ref{req}는 다음과 같은 형태로 쓰여진다

\[ r^2 f''(r)+2 r f'(r)+\left(a r^2 +b r -l (l+1) \right)f(r)=0 \] 여기서 \(a=\frac{2m}{\hbar^2}E\), \(b=\frac{2m}{\hbar^2}ke^2\)

양자 수와 교환자 관계식

  • 교환자 관계식

\[ [\hat{H},L^2]=[\hat{H},L_{z}]=0 \] 여기서 \[L^2=-\hbar ^2 \left(\frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\right)\] \[L_{z}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi }\]

  • 양자수
    • \(n\) : principal quantum number, \(n=1,2\cdots, \)
    • \(\ell\) : azimuthal quantum number, \(0\le \ell \le n-1\)
    • \(m\) : magnetic quantum number, \(-\ell \le m \le \ell\)
  • \(\hat{H}\)의 고유벡터를 \(|n,\ell,m\rangle\)로 표현할 수 있다

\[\hat{H} | n, \ell, m \rangle = E_n \,| n, \ell, m \rangle \] \[ L^2\, | n, \ell, m\rangle = {\hbar}^2 \ell(\ell+1)\, | n, \ell, m \rangle \] \[ L_z\, | n, \ell, m \rangle = \hbar m \,| n, \ell, m \rangle \]


관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hydrogen'}, {'LEMMA': 'atom'}]
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