단진자의 주기와 타원적분

개요

• 길이가 \(\ell\)인 단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어짐 \[{d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 \] (여기서 g는 중력가속도)
• 비선형 미분방정식이며, 대학수준의 역학에서는 \(\theta\)가 0에 매우 가깝다고 가정하고, \(\sin\theta\approx \theta\) 임을 이용하여 다음과 같은 미분방정식으로 대체한다 \[{d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0\] 이 때 단진자의 주기는 \(2\pi\sqrt\frac{\ell}{g}\) 로 주어진다
• 근사가 아닌 원래 미분방정식에 대한 진자의 주기를 구하기 위해서는, 타원적분 이 필요하다

단진자의 주기

• 진폭이 \(\theta_0\)인 단진자의 주기는 다음과 같다

\[T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\,d\phi.\] 여기서 \(k=\sin\frac{\theta_0}{2}\)

증명

진자의 속도는 \({d\theta\over dt} = \sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}\) 로 주어진다. 따라서 주기를 다음과 같이 쓸 수 있다. \[T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta\] 여기서 \(A=\sqrt{1-\cos\theta_0}\) 로 두고, 다음과 같은 치환을 사용하자. \[\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2\]

그러면, \[\cos\theta=1-A^2\sin^2\phi\] \[\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin^2\phi}\] \[\sin\theta \,d\theta=2A^2\cos\phi\sin\phi\] 를 얻는다.

주기를 구하면, \[T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin^2\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin^2\phi}}\,d\phi\] \(A=\sqrt{2}k\)로 두면, \[T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\,d\phi\]를 얻는다. ■

제1종 타원적분과의 관계

• 다음과 같이 정의된 적분\[K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\]
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 항목 참조

역사

• 수학사 연표

관련된 항목들

• 타원적분
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/단진자
• http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics)

관련기사

• 상대성 이론, 시계에서 태어났다/홍성욱

블로그

• Weistern's Weistern's :: 단진자의 주기 ( 근사식 사용하지 않고, 제대로 ), 2009-5-29

메타데이터

위키데이터

• ID : Q20702