"힐베르트 부호"의 두 판 사이의 차이
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==유리수 체에서의 힐베르트 부호== | ==유리수 체에서의 힐베르트 부호== | ||
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===p에 대한 힐베르트 부호=== | ===p에 대한 힐베르트 부호=== | ||
| − | * | + | * <math>p=\infty</math> 일 때, |
:<math>(a,b)_{\infty}= | :<math>(a,b)_{\infty}= | ||
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* 홀수인 소수 p에 대하여, <math>a = p^{\alpha} u</math> and <math>b = p^{\beta} v</math>이면 | * 홀수인 소수 p에 대하여, <math>a = p^{\alpha} u</math> and <math>b = p^{\beta} v</math>이면 | ||
:<math>(a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha</math> 여기서 <math>\epsilon(p) = (p-1)/2</math> | :<math>(a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha</math> 여기서 <math>\epsilon(p) = (p-1)/2</math> | ||
| − | * | + | * <math>p=2</math>일 경우, <math>a = 2^\alpha u</math>, <math>b = 2^\beta v</math>라 두면 |
:<math>(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}</math> 여기서 <math>\omega(x) = (x^2-1)/8</math>. | :<math>(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}</math> 여기서 <math>\omega(x) = (x^2-1)/8</math>. | ||
===상호법칙=== | ===상호법칙=== | ||
| − | * 유한개의 | + | * 유한개의 <math>p</math>에 대해서만 <math>(a,b)_p =-1</math> 이 된다 |
* 다음이 성립한다 | * 다음이 성립한다 | ||
:<math>\prod_p (a,b)_p = 1</math> | :<math>\prod_p (a,b)_p = 1</math> | ||
2020년 11월 12일 (목) 22:43 판
개요
- 힐베르트 부호 또는 힐베르트 norm residue 부호로 불리기도 함
- local field 위에서의 이차형식을 공부하는데 중요한 도구
정의
- K : local field
\[(a,b)=\begin{cases}1,&\mbox{ if }z^2=ax^2+by^2\mbox{ has a non-zero solution }(x,y,z)\in K^3;\\-1,&\mbox{ if not.}\end{cases}\]
성질
- 다음을 만족한다
\[(u^2,v)=1\] \[(u,v)=(v,u)\] \[(u_1u_2,v)=(u_1,v)(u_2,v)\] \[(u,1-u)=1\]
유리수 체에서의 힐베르트 부호
- \(\mathbb{Q}^{\times}/(\mathbb{Q}^{\times})^2\)의 구조를 알면 쉽게 계산할 수 있다
p에 대한 힐베르트 부호
- \(p=\infty\) 일 때,
\[(a,b)_{\infty}= \begin{cases} 1,&\mbox{ if }a>0 \mbox{ or } b>0 \\ -1,& \mbox{ if }a<0 \mbox{ and } b<0 \end{cases} \]
- 홀수인 소수 p에 대하여, \(a = p^{\alpha} u\) and \(b = p^{\beta} v\)이면
\[(a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha\] 여기서 \(\epsilon(p) = (p-1)/2\)
- \(p=2\)일 경우, \(a = 2^\alpha u\), \(b = 2^\beta v\)라 두면
\[(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}\] 여기서 \(\omega(x) = (x^2-1)/8\).
상호법칙
- 유한개의 \(p\)에 대해서만 \((a,b)_p =-1\) 이 된다
- 다음이 성립한다
\[\prod_p (a,b)_p = 1\]
예
\begin{array}{c|c|c} p & (7,11)_p & (2,5)_p \\ \infty & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & -1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & -1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \\ 31 & 1 & 1 \\ 37 & 1 & 1 \\ 41 & 1 & 1 \\ 43 & 1 & 1 \\ 47 & 1 & 1 \\ \vdots & 1 & 1 \\ \end{array}
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