베르누이 수에 대한 쿰머 합동식

개요

• 쿰머가 발견한 베르누이 수가 만족시키는 합동식
• p진 L-함수 이론을 통해 이해할 수 있다

쿰머 합동식

기호

• 소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod {p^m}$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
• 유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$
• 유리수체 $\mathbb{Q}$위에 함수 $|\cdot|_p$를 다음과 같이 정의하자

$$ |x|_{p} = \begin{cases} \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if $x\neq 0$;}\\ 0, & \text{if $x=0$} \\ \end{cases} $$

• $B_k$는 베르누이 수

$$ \begin{array}{c|ccccccccccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510} \end{array} $$

정리 (쿰머)

$p-1\nmid k$이면 $|B_k/k|_p \leq 1$

예

• $p=5$라 두면, 다음이 성립한다

$$ \begin{array}{c|c|c|c} k & \frac{B_k}{k} & \operatorname{ord}_p \frac{B_k}{k} & \left| \frac{B_k}{k}\right|_p \\ \hline 2 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\ 6 & \frac{1}{252} & 0 & 1 \\ 10 & \frac{1}{132} & 0 & 1 \\ 14 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\ 18 & \frac{43867}{14364} & 0 & 1 \\ 22 & \frac{77683}{276} & 0 & 1 \\ 26 & \frac{657931}{12} & 0 & 1 \\ 30 & \frac{1723168255201}{85932} & 0 & 1 \\ \end{array} $$

정리 (쿰머)

$p-1\nmid k,k'$이고 $k \equiv k' \pmod {(p-1)p^N}$이면, $$ (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}\equiv (1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \pmod {p^{N+1}} $$

예

• $p=5$, $N=1$로 두자

$$ \begin{array}{c|c|c|c} {k,k'} &(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k} &(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} & \operatorname{ord}_p \left( (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}-(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'}\right) \\ \hline \{2,22\} & -\frac{1}{3} & -\frac{9260535240173320423}{69} & 2 \\ \{6,26\} & -\frac{781}{63} & -\frac{49019679427146911456611}{3} & 2 \\ \{10,30\} & -\frac{488281}{33} & -\frac{80241274796472862362430841236981}{21483} & 2 \\ \{14,34\} & -\frac{305175781}{3} & -\frac{4412975905899656936526260615774831}{3} & 2 \\ \{18,38\} & -\frac{8366966247547627}{3591} & -\frac{2805067306174551049480214676451415787241}{3} & 2 \\ \end{array} $$

메모

• http://www.rac.es/ficheros/doc/00261.pdf

관련된 항목들

• P진 해석학(p-adic analysis)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR1VJeDZ0VmZhdW8/edit

사전 형태의 자료

• https://en.wikipedia.org/wiki/Kummer's_congruence