베르누이 수에 대한 쿰머 합동식
개요
- 쿰머가 발견한 베르누이 수가 만족시키는 합동식
- p진 L-함수 이론을 통해 이해할 수 있다
쿰머 합동식
기호
- 소수 <math>p</math>와 정수 <math>x</math>에 대하여, <math>\operatorname{ord}_p x</math>를 <math>a\equiv 0\pmod {p^m}</math>을 만족하는 최대의 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>으로 정의하자
- 유리수 <math>x=a/b</math>에 대해서는 <math>\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b</math>
- 유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>위에 함수 <math>|\cdot|_p</math>를 다음과 같이 정의하자
- <math>
|x|_{p} = \begin{cases} \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if </math>x\neq 0<math>;}\\ 0, & \text{if </math>x=0<math>} \\ \end{cases} </math>
- <math>B_k</math>는 베르누이 수
- <math>
\begin{array}{c|ccccccccccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510} \end{array} </math>
- 정리 (쿰머)
<math>p-1\nmid k</math>이면 <math>|B_k/k|_p \leq 1</math>
예
- <math>p=5</math>라 두면, 다음이 성립한다
- <math>
\begin{array}{c|c|c|c} k & \frac{B_k}{k} & \operatorname{ord}_p \frac{B_k}{k} & \left| \frac{B_k}{k}\right|_p \\ \hline 2 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\ 6 & \frac{1}{252} & 0 & 1 \\ 10 & \frac{1}{132} & 0 & 1 \\ 14 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\ 18 & \frac{43867}{14364} & 0 & 1 \\ 22 & \frac{77683}{276} & 0 & 1 \\ 26 & \frac{657931}{12} & 0 & 1 \\ 30 & \frac{1723168255201}{85932} & 0 & 1 \\ \end{array} </math>
- 정리 (쿰머)
<math>p-1\nmid k,k'</math>이고 <math>k \equiv k' \pmod {(p-1)p^N}</math>이면,
- <math>
(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}\equiv (1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \pmod {p^{N+1}} </math>
예
- <math>p=5</math>, <math>N=1</math>로 두자
- <math>
\begin{array}{c|c|c|c} {k,k'} &(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k} &(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} & \operatorname{ord}_p \left( (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}-(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'}\right) \\ \hline \{2,22\} & -\frac{1}{3} & -\frac{9260535240173320423}{69} & 2 \\ \{6,26\} & -\frac{781}{63} & -\frac{49019679427146911456611}{3} & 2 \\ \{10,30\} & -\frac{488281}{33} & -\frac{80241274796472862362430841236981}{21483} & 2 \\ \{14,34\} & -\frac{305175781}{3} & -\frac{4412975905899656936526260615774831}{3} & 2 \\ \{18,38\} & -\frac{8366966247547627}{3591} & -\frac{2805067306174551049480214676451415787241}{3} & 2 \\ \end{array} </math>
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
리뷰, 에세이, 강의노트
- Robledo, Alvaro Lozano. “Bernoulli Numbers, Hurwitz Numbers, P-Adic L-Functions and Kummer’s Criterion.” RACSAM 101, no. 1 (2007): 1–32.
사전 형태의 자료
메타데이터
위키데이터
- ID : Q21450632
Spacy 패턴 목록
- [{'LEMMA': 'Kummer'}]