베르누이 수에 대한 쿰머 합동식

수학노트
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개요[편집]

  • 쿰머가 발견한 베르누이 수가 만족시키는 합동식
  • p진 L-함수 이론을 통해 이해할 수 있다


쿰머 합동식[편집]

기호[편집]

  • 소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod {p^m}$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
  • 유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$
  • 유리수체 $\mathbb{Q}$위에 함수 $|\cdot|_p$를 다음과 같이 정의하자

$$ |x|_{p} = \begin{cases}

\frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if $x\neq 0$;}\\ 
0, & \text{if $x=0$} \\ 

\end{cases} $$

$$ \begin{array}{c|ccccccccccccccccc}

n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\

\hline

B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510}

\end{array} $$

정리 (쿰머)

$p-1\nmid k$이면 $|B_k/k|_p \leq 1$

[편집]

  • $p=5$라 두면, 다음이 성립한다

$$ \begin{array}{c|c|c|c}

k & \frac{B_k}{k} & \operatorname{ord}_p \frac{B_k}{k} & \left| \frac{B_k}{k}\right|_p \\

\hline

2 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\
6 & \frac{1}{252} & 0 & 1 \\
10 & \frac{1}{132} & 0 & 1 \\
14 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\
18 & \frac{43867}{14364} & 0 & 1 \\
22 & \frac{77683}{276} & 0 & 1 \\
26 & \frac{657931}{12} & 0 & 1 \\
30 & \frac{1723168255201}{85932} & 0 & 1 \\

\end{array} $$

정리 (쿰머)

$p-1\nmid k,k'$이고 $k \equiv k' \pmod {(p-1)p^N}$이면, $$ (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}\equiv (1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \pmod {p^{N+1}} $$

[편집]

  • $p=5$, $N=1$로 두자

$$ \begin{array}{c|c|c|c}

{k,k'} &(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k} &(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} & \operatorname{ord}_p \left( (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}-(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'}\right) \\

\hline

\{2,22\} & -\frac{1}{3} & -\frac{9260535240173320423}{69} & 2 \\
\{6,26\} & -\frac{781}{63} & -\frac{49019679427146911456611}{3} & 2 \\
\{10,30\} & -\frac{488281}{33} & -\frac{80241274796472862362430841236981}{21483} & 2 \\
\{14,34\} & -\frac{305175781}{3} & -\frac{4412975905899656936526260615774831}{3} & 2 \\
\{18,38\} & -\frac{8366966247547627}{3591} & -\frac{2805067306174551049480214676451415787241}{3} & 2 \\

\end{array} $$


메모[편집]


관련된 항목들[편집]

매스매티카 파일 및 계산 리소스[편집]


리뷰, 에세이, 강의노트[편집]

  • Robledo, Alvaro Lozano. “Bernoulli Numbers, Hurwitz Numbers, P-Adic L-Functions and Kummer’s Criterion.” RACSAM 101, no. 1 (2007): 1–32.

사전 형태의 자료[편집]