"합동수 문제 (congruent number problem)"의 두 판 사이의 차이

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* 자연수 중에서 세변이 모두 유리수 길이를 갖는 직각삼각형의 넓이로 나타날 수 있는 수를 합동수(congruent number)라 함
 
* 자연수 중에서 세변이 모두 유리수 길이를 갖는 직각삼각형의 넓이로 나타날 수 있는 수를 합동수(congruent number)라 함
 
* [[타원곡선]] <math>y^2=x^3-n^2x</math> 의 rank가 1이상인 경우를 찾는 문제와 같다
 
* [[타원곡선]] <math>y^2=x^3-n^2x</math> 의 rank가 1이상인 경우를 찾는 문제와 같다
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* 주어진 n이 합동수인지를 판정하는 방법이 있으나, [[Birch and Swinnerton-Dyer 추측]]에 의존하고 있다  '''[Tunnell1983]'''
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* 주어진 n이 합동수인지를 판정하는 방법이 있으나, [[버치와 스위너톤-다이어 추측]]에 의존하고 있다  '''[Tunnell1983]'''
  
  
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* n=1은 합동수가 아니다
 
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* [http://books.google.com/books?id=lJxOgVcHBlkC&pg=PA54&lpg=PA54&dq=infinite+descent+fermat+congruent+number&source=bl&ots=NZoJGuIQ55&sig=HU8Y2s5MU004XJTwxTQ1eGwqr54&hl=ko&sa=X&ei=vbMYT_p5pI6KApm64e0K&ved=0CEkQ6AEwBA#v=onepage&q=infinite%20descent%20fermat%20congruent%20number&f=false 페르마 infinite descent]
 
* [http://books.google.com/books?id=lJxOgVcHBlkC&pg=PA54&lpg=PA54&dq=infinite+descent+fermat+congruent+number&source=bl&ots=NZoJGuIQ55&sig=HU8Y2s5MU004XJTwxTQ1eGwqr54&hl=ko&sa=X&ei=vbMYT_p5pI6KApm64e0K&ved=0CEkQ6AEwBA#v=onepage&q=infinite%20descent%20fermat%20congruent%20number&f=false 페르마 infinite descent]
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*  타원곡선 <math>y^2=x^3-x</math>의 유리수해는 다음과 같다:<math>E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} </math><br>
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*  타원곡선 <math>y^2=x^3-x</math>의 유리수해는 다음과 같다:<math>E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} </math>
 
* 따라서 n=1은 합동수가 아니다
 
* 따라서 n=1은 합동수가 아니다
 
* [[타원곡선 y²=x³-x|타원곡선 y^2=x^3-x]] 항목 참조
 
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*  6은 합동수이다:<math>y^2=x^3-36x</math>의 모든 정수해는 <math>(x,y)= (0, 0), (\pm6, 0), (-3,\pm9), (-2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)</math> 이다.<br>
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A003273 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003273] 참조<br>
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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** [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/?q=congruent+number http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=congruent+number]
 
** [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/?q=congruent+number http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=congruent+number]
 
** [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A003273 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003273]
 
** [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A003273 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003273]

2014년 12월 31일 (수) 04:53 판

개요

  • 자연수 중에서 세변이 모두 유리수 길이를 갖는 직각삼각형의 넓이로 나타날 수 있는 수를 합동수(congruent number)라 함
  • 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상인 경우를 찾는 문제와 같다
  • 주어진 n이 합동수인지를 판정하는 방법이 있으나, 버치와 스위너톤-다이어 추측에 의존하고 있다  [Tunnell1983]


 

타원곡선과의 관계

정리

자연수 \(n\) 은 합동수이다

 \(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 이 \(y\neq0\)인 유리해를 갖는다.

 \(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상이다.

증명

직각삼각형의 세 변의 길이가 \(a,b,c\)로 주어졌다고 가정하고 그 넓이가 \(n\) 이라 하자. 다음의 연립방정식이 만족된다. $$ \left\{ \begin{array}{c} a^2 + b^2 &=& c^2 \\ \frac{ab}{2} &=& n \end{array} \right. $$

다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다. \[(\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2\]

\(u=\frac{c}{2}\), \(v=\frac{a^2-b^2}{4}\) 로 두자.

디오판투스 방정식 \(u^4-n^2=v^2\) 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.

\(u^4-n^2=v^2\)에서 \(u^6-n^2u^2=u^2v^2\) 를 얻은 뒤, \(x=u^2\), \(y=uv\) 로 두면, 타원곡선의 방정식 \(y^2=x^3-n^2x\)을 얻는다.

따라서 세 변의 길이가 \(a,b,c\)이고 그 넓이가 \(n\)인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선  \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해를 얻는다.

그러면 역으로 타원곡선  \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?

\(y\neq0\)인 유리수해 \((x,y)\) 에 대하여

\(a=|\frac{n^2-x^2}{y}|\), \(b=|\frac{2nx}{y}|\), \(c=|\frac{n^2+x^2}{y}|\)

로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다. 

한편 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 torsion은 \(\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}\) 뿐이므로, \(y\neq0\)인 유리수해 \((x,y)\) 의 존재는 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상이라는 사실과 동치이다. ■

 

예

n=1인 경우

  • n=1은 합동수가 아니다
  • 페르마 infinite descent
  • 타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 유리수해는 다음과 같다\[E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \]
  • 따라서 n=1은 합동수가 아니다
  • 타원곡선 y^2=x^3-x 항목 참조


n=5인 경우

  • 5는 합동수이다
    •  세 변의 길이가 다음과 같은 직각삼각형을 만들 수 있다
    • \(\frac{41}{6},\frac{20}{3},\frac{3}{2}\)
    • 5는 가장 작은 합동수이다

 

n=6인 경우

  • 6은 합동수이다
  • 타원곡선 \(y^2=x^3-36x\)의 정수해는 \((x,y)= (0, 0), (\pm6, 0), (-3,\pm9), (-2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다
  • 사각 피라미드 퍼즐 항목 참조

 

목록

 

 

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역사

 

 

관련된 항목들

 

 

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사전 형태의 자료


 

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관련논문


 

관련도서

  • Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers Volume II
    • Chapter XVI
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