"렘니스케이트 곡선의 등분 (Lemniscatomy)"의 두 판 사이의 차이

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* 타원함수의 변환
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\phi(5\alpha)=\frac{\phi  \left(5-62 \phi ^4-105 \phi ^8+300 \phi ^{12}-125 \phi ^{16}+50 \phi ^{20}+\phi ^{24}\right)}{1+50 \phi ^4-125 \phi ^8+300 \phi ^{12}-105 \phi ^{16}-62 \phi ^{20}+5 \phi ^{24}},\, \phi:=\phi(\alpha)
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2015년 11월 24일 (화) 05:56 판

개요

렘니스케이트 사인과 코사인

  • 렘니스케이트 사인\[x=\int_{0}^{s}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\]
  • 렘니스케이트 코사인\[x=\int_{c}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\]
  • 관계식\[s (x)^2+c (x)^2+c (x)^2 s (x)^2=1\]
  • 덧셈공식\[s(x+y)=\frac{s(x) c(y)+c(x) s(y)}{1-s(x) c(x) s(y) c(y)}\]



렘니스케이트 타원함수

  • 렘니스케이트 사인함수 \(x=\phi(t)\)는 타원적분 \(t=\int_{0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 의 역함수로 정의된다
  • \(m\in\mathbb{Z}[i]\) 에 대하여, \(y=\phi(mt)\) 로 두면, \(mt=\int_{0}^{y}\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}\) 을 만족한다
  • \(x=\phi(t)\)와 \(y=\phi(mt)\)는\[\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}=m\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\] 의 관계를 만족한다
  • 렘니스케이트 사인함수의 덧셈공식(파그나노의 공식)

\[\phi(t+t')=\frac{\phi(t)\sqrt{1-\phi(t')^4}+\phi(t')\sqrt{1-\phi(t)^4}}{1+\phi(t)^2\phi(t')^2}\]

  • \(\phi(z)\) 는 다음 자코비 타원함수 와 같다\[\text{sn}(z|-1)=z-\frac{z^5}{10}+\frac{z^9}{120}-\frac{11 z^{13}}{15600}+\frac{211 z^{17}}{3536000}+O\left(z^{21}\right)\]



Lemniscatomy

  • 삼각함수의 삼각함수의 배각공식 에 비유하면 적당하다
  • 렘니스케이트 타원함수의 덧셈공식으로부터 유도할 수 있다



3등분점

  • 렘니스케이트의 삼등분\[\phi(3\alpha)=-\phi\frac{\phi^8+6\phi^4-3}{1+6\phi^4-3\phi^8}\]
  • 위의 식으로부터 \(\phi^8+6\phi^4-3=0\) 의 해를 구하면, 렘니스케이트의 삼등분점을 구할 수 있다

렘니스케이트 곡선과 Lemniscatomy1.gif

  • 세 점의 좌표는 다음과 같이 주어진다\[\left(0,0\right)\]\[\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)},\sqrt{\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)}\right)\]\[\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)},-\sqrt{\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)}\right)\]

5등분점

  • 타원함수의 변환

$$ \phi(5\alpha)=\frac{\phi \left(5-62 \phi ^4-105 \phi ^8+300 \phi ^{12}-125 \phi ^{16}+50 \phi ^{20}+\phi ^{24}\right)}{1+50 \phi ^4-125 \phi ^8+300 \phi ^{12}-105 \phi ^{16}-62 \phi ^{20}+5 \phi ^{24}},\, \phi:=\phi(\alpha) $$ 렘니스케이트 곡선과 Lemniscatomy2.gif

\[\left(\frac{\left(-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}\right)^{1/4} \sqrt{1+\sqrt{-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}}}}{\sqrt{2}},\frac{\left(-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}\right)^{1/4} \sqrt{1-\sqrt{-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}}}}{\sqrt{2}}\right)\]

 

 

역사



메모


관련된 항목들



수학용어번역

  • lemniscatomy
  • cyclotomy

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스


 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

  • N.H. Abel (1827–28), Recherches sur les fonctions elliptiques, Journal f.d. reine & angew. Math. 2, 101–181, 3, 160–190 [ = OEuvres compl`etes (Sylow, Lie, ed.s), vol. I, pp. 263–388]


 

 

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