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* 교환자 관계식 | * 교환자 관계식 | ||
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* 분배함수 | * 분배함수 | ||
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Z(T)=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{E_n}{kT})=\frac{1}{2\sinh \frac{h\nu}{2kT}} | Z(T)=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{E_n}{kT})=\frac{1}{2\sinh \frac{h\nu}{2kT}} | ||
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2020년 11월 12일 (목) 00:21 판
개요
고전 역학에서의 조화진동자
- 고전 단순 조화 진동자
- 질량 m, frequency \(\omega\) 인 조화진동자
- 해밀토니안\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q^2\]
- 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
- 운동방정식\[\ddot{x}=-\omega^{2} x\] 또는 \[\ddot{x}+\omega^{2} x=0\]
양자조화진동자
- 위치 연산자와 운동량 연산자
\[[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\]
- 해밀토니안
\[\hat H= \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2\]
- 사다리 연산자(ladder operator)\[a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)\]\[a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)\]
- 교환자 관계식
\[\left[a , a^{\dagger} \right] = 1\]\[\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a\]\[\left[ H, a^\dagger \right] = \hbar \omega a^\dagger\]
- 사다리 연산자를 이용하여 해밀토니안을 다음과 같이 쓸 수 있다
\[\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)\]
슈뢰딩거 방정식
energy eigenstates
- \(\hbar=1\) 이라 가정하자
- a harmonic oscillator that vibrates with frequency \(\omega\) can have energy \(\frac{\omega}{2}, (1 +\frac{1}{2})\omega, (2 +\frac{1}{2})\omega,(3 +\frac{1}{2})\omega,\cdots\)
- 바닥 상태의 에너지
- lowest energy state
- \(\omega/2\)
- \(E_n=(n+1/2)\omega=(n+1/2)h\nu\)라 두자
- 분배함수
\[ Z(T)=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{E_n}{kT})=\frac{1}{2\sinh \frac{h\nu}{2kT}} \]
역사
메모
- “The career of a young theoretical physicist consists of treating the harmonic oscillator in ever-increasing levels of abstraction.” - Sidney Coleman
- quartic anharmonic oscillator http://facultypages.morris.umn.edu/math/Ma4901/Sp2013/Final/RobertSmith-Final.pdf
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNjZjM2RkNjktODdiMS00YjEwLWJlNTAtNzVmNjk0ZTU0Mjdi/edit
- http://demonstrations.wolfram.com/QuantizedSolutionsOfThe1DSchroedingerEquationForAHarmonicOsc/
- Math - Symbolic Science Computations with non-commuting variables
사전 형태의 자료
관련논문
- Quesne, C. “Addendum to An Update on the Classical and Quantum Harmonic Oscillators on the Sphere and the Hyperbolic Plane in Polar Coordinates.” arXiv:1508.02221 [math-Ph, Physics:nlin, Physics:physics, Physics:quant-Ph], August 10, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02221.
- Quesne, C. “An Update on the Classical and Quantum Harmonic Oscillators on the Sphere and the Hyperbolic Plane in Polar Coordinates.” Physics Letters A 379, no. 26–27 (August 2015): 1589–93. doi:10.1016/j.physleta.2015.04.011.