"가우스 합"의 두 판 사이의 차이

2009년 8월 13일 (목) 10:11 판

소수 $p$가 주어져 있을때, $a\in \mathbb Z/p\mathbb Z$와 곱셈에 대한 준동형사상 $\chi \colon (\mathbb Z/p\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}$상 $\chi \colon \mathbb Z/p\mathbb Z \to \mathbb C^{*}$ 에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함

$g_a(\chi) := \sum_{t \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \chi(t) e^{2 \pi i a t/p}=\sum_{t \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \chi(t) \zeta^{a t}$

여기서 $ \zeta = e^{2\pi i/p}$

$a=1$이고 $\chi(t)=$\left(\frac{t}{p}\right)$ 일 때, 가우스합은 다음과 같이 주어짐
$g_1(\chi) := \sum_{t \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{t}{p}\right)e^{2 \pi i t/p}=\sum_{t \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{t}{p}\right) \zeta^t}=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{t}{p}\right) \zeta^t}$

$g_1(\chi) = \begin{cases} \sqrt{p}, & p \equiv 1 \pmod{4}, \\ i \sqrt{p}, & p \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases}$

$\zeta=e^{2\pi i \over 17}$ 로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
$(3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}$
이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
- $A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}$
- $A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}$
- $A_0+A_1= -1$ 임은 쉽게 알 수 있음
- $A_0-A_1$ 는 가우스합이므로 $A_0-A_1=\sqrt{17}$
- $A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ , $A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$

@@ 3번째 줄: / 3번째 줄: @@
 * 소수 <math>p</math>가 주어져 있을때,  <math>a\in \mathbb Z/p\mathbb Z</math>와 곱셈에 대한 준동형사상 <math>\chi \colon (\mathbb Z/p\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>상 <math>\chi \colon \mathbb Z/p\mathbb Z \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함
-<math>g_a(\chi) := \sum_{t \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \chi(t) e^{2 \pi i a t/p}</math>
+<math>g_a(\chi) := \sum_{t \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \chi(t) e^{2 \pi i a t/p}=\sum_{t \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \chi(t) \zeta^{a t}</math>
-*  성질<br><math>g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)</math><br>  <br>
+여기서 <math> \zeta = e^{2\pi i/p}</math>
+*  성질<br><math>g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)</math><br>
-* <math>a=1</math>이고 <math>\chi(t)=$\left(\frac{t}{p}\right)</math> 일 때, 가우스합은 다음과 같이 주어짐<br><math>g_1(\chi) := \sum_{t \in \mathbb Z/p\mathbb Z} $\left(\frac{t}{p}\right) e^{2 \pi i t/p}</math><br>
+* <math>a=1</math>이고 <math>\chi(t)=$\left(\frac{t}{p}\right)</math> 일 때, 가우스합은 다음과 같이 주어짐<br><math>g_1(\chi) := \sum_{t \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{t}{p}\right)e^{2 \pi i t/p}=\sum_{t \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{t}{p}\right) \zeta^t}=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{t}{p}\right) \zeta^t}</math><br>
 <math>g_1(\chi) = \begin{cases} \sqrt{p}, & p \equiv 1 \pmod{4}, \\ i \sqrt{p}, & p \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases}</math>