가우스 합
개요
- 이차잉여의 상호법칙 을 증명하기 위해 가우스가 도입
- 유한군 위에 정의된 푸리에 변환의 관점에서 이해할 수 있음
- 이차잉여에 등장하는 자코비 부호의 푸리에 변환
- 자코비 세타함수의 행동을 이해하는데 중요하다
초등정수론의 가우스합
정의
- <math>p</math> 는 홀수인 소수
- 가우스합을 다음과 같이 정의
- <math>G(p) := \sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right)e^{2 \pi i a/p}=\sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a</math>
또다른 정의
- 위의 정의 대신 다음 정의를 사용하기도 함
- <math>G'(p):=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}</math>
- 이 두 정의가 같음을 보이자
- <math>\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}</math>
- 증명
<math>A,B</math>를 다음과 같이 정의하자
- <math>A=\sum_{a\in QR} \zeta^a=\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}, \label{AQR}</math>
- <math>B=\sum_{a\in QNR} \zeta^a</math>
다음이 성립한다
- <math>A+B=-1 \label{sum}</math>
- <math>A-B=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a \label{diff}</math>
\ref{sum}과 \ref{diff}의 양변을 더하여 다음을 얻는다
- <math>2A+1=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a</math>
한편, \ref{AQR}로부터,
- <math>2A+1=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}</math> 이므로,
- <math>\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}</math> 를 얻는다.■
- 정리
홀수인 소수 <math>p</math>에 대하여 가우스합은 다음과 같이 주어진다.
<math>p \equiv 1 \pmod 4</math> 일 때, <math>G(p)=\sqrt{p}</math>
<math>p \equiv 3 \pmod 4</math> 일 때, <math>G(p)=i\sqrt{p}</math>
일반화
- 소수가 아닌 모든 자연수 <math>M</math>에 대해서도 다음과 같이 정의할 수 있음
- <math>G(M) := \sum_{r=0}^{M-1} e^{2\pi i r^2/M}</math>
<math>M \equiv 1 \pmod 4</math> 일 때, <math>G(M)=\sqrt{M}</math>
<math>M \equiv 2 \pmod 4</math> 일 때, <math>G(M)=0</math>
<math>M \equiv 3 \pmod 4</math> 일 때, <math>G(M)=i\sqrt{M}</math>
<math>M \equiv 0 \pmod 4</math> 일 때, <math>G(M)=(1+i)\sqrt{M}</math>
가우스합 S(p,q)와 상호법칙
- <math>pq</math>가 짝수인 자연수p,q에 대하여 다음을 정의:<math>S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}</math>
- <math>p=2</math>로 두면 위에서 정의한 가우스합을 다시 얻게 된다:<math>S(2,q)=G(q)</math>
- 성질:<math>S(ap,aq)=S(ap,aq)</math>:<math>S(a^2p,q)=S(p,q)</math>:<math>S(ap,q)=\left(\frac{a}{q}\right) S(p,q)</math>
- 자코비 세타함수의 cusp에서의 변화를 기술할 때 사용될 수 있음.
- 가우스합의 상호법칙 자연수p,q에 대하여 <math>pq</math>가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다.:<math>\sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)</math>
- 증명은 가우스 합의 상호법칙(Landsberg-Schaar relation) 항목을 참조
디리클레 캐릭터와 가우스합
- 더 일반적인 가우스합을 정의할 수 있음
- 유한아벨군 위에 정의된 푸리에 변환 으로 이해할 수 있음
- <math>a\in (\mathbb Z/f \mathbb Z)^{*}</math>와 준동형사상 <math>\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함
- <math>g_a(\chi) := \sum_{(t,f)=1} \chi(t) e^{2 \pi i a t/f}=\sum_{(t,f)=1} \chi(t) \zeta^{a t}</math>
여기서 <math> \zeta = e^{2\pi i/f}</math>
- 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>a=1</math>, <math>\chi(t)=\left(\frac{t}{p}\right)</math>로 두면, 맨 처음에 정의한 가우스합 <math>G(p)</math>을 다시 얻게 됨. <math>G(p)=g_1(\chi)</math>
- 정리
- <math>g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)</math>
- <math>\chi(n)=\frac{1}{f}\sum_{(a,f)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/f}</math>
- 정리
primitive인 준동형사상 <math>\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여, 가우스합은 다음을 만족시킴
<math>\tau(\chi)=g_1(\chi)</math>라 두면, <math>|\tau(\chi)|=\sqrt{f}</math>
- 정리
실수값을 갖는 primitive인 준동형사상 <math>\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>에 대해서 다음이 성립한다.
<math>\chi(-1)=1</math>일때, <math>\tau(\chi)=\sqrt{f}</math>
<math>\chi(-1)=-1</math>일 때, <math>\tau(\chi)=i\sqrt{f}</math>
이차수체와 가우스 합
- 판별식이 <math>d_K</math>인 이차수체 <math>K</math>가 주어졌을 때, 임의의 홀수인 소수 <math>p\in \mathbb{Z}</math>에 대하여 아래의 조건을 만족하는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb{C}^{\times}</math>가 존재한다
- <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math>
<math>q \geq 2</math> 는 소수라 가정하자.
<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})</math>, <math>q \geq 3</math> , <math>q \equiv 3 \pmod{4}</math> 인 경우
<math>d_K=-q</math>, <math>(\mathbb Z/q \mathbb Z)^{*}</math>
<math>\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)</math>
<math>\chi(-1)=-1</math>, <math>\tau(\chi)=i\sqrt{q}</math>
<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})</math> , <math>q \geq 5</math>, <math>q \equiv 1 \pmod{4}</math> 인 경우
<math>d_K=q</math>, <math>(\mathbb Z/q \mathbb Z)^{*}</math>
<math>\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)</math>
<math>\chi(-1)=1</math>, <math>\tau(\chi)=\sqrt{q}</math>
<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})</math> , <math>q \geq 1</math> , <math>q \equiv 1 \pmod{4}</math> 인 경우
<math>d_K=-4q</math>, <math>(\mathbb Z/4q \mathbb Z)^{*}</math>
<math>n\in \mathbb{Z}</math>, <math>(n,4q)=1</math> 에 대해서는
<math>\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)</math>
<math>\chi(-1)=-1</math>, <math>\tau(\chi)=2i\sqrt{q}</math>
<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})</math> , <math>q \geq 3</math>, <math>q \equiv 3 \pmod{4}</math> 인 경우
<math>d_K=4q</math>, <math>(\mathbb Z/4q \mathbb Z)^{*}</math>
일반적인<math>n\in \mathbb{Z}</math>, <math>(n,4q)=1</math> 에 대해서는
<math>\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)</math>
<math>\chi(-1)=1</math>, <math>\tau(\chi)=2\sqrt{q}</math>
정17각형의 작도 문제의 해결 과정에서 나타나는 가우스합
- <math>\zeta=e^{2\pi i \over 17}</math> 로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
- <math>(3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}</math>
- 이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
- <math>A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}</math>
- <math>A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}</math>
- <math>A_0+A_1= -1</math> 임은 쉽게 알 수 있음
- <math>A_0-A_1</math> 는 가우스합이므로 <math>A_0-A_1=\sqrt{17}</math>
- <math>A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}</math> , <math>A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}</math>
메모
<math>\sqrt{y}\theta(\frac{p}{q}+iy)\sim \frac{1}{q}S(p,q)</math>
관련된 항목들
- 가우스와 정17각형의 작도
- 이차잉여의 상호법칙
- 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
- 푸리에 변환
- 유한군의 표현론
- 순환군의 표현론p진해석학
- p진해석학(p-adic analysis)
- p-adic 감마함수
- 자코비 세타함수
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련도서
- Kenneth Ireland, Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory(Graduate Texts in Mathematics) (v. 84)
사전 형태의 자료
관련논문
- Malikiosis, Romanos-Diogenes, Sinai Robins, and Yichi Zhang. “Polyhedral Gauss Sums, and Polytopes with Symmetry.” arXiv:1508.01876 [math], August 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01876.
- Wu, Siye. “Miniscule Representations, Gauss Sum and Modular Invariance.” arXiv:0802.2038 [math], February 14, 2008. http://arxiv.org/abs/0802.2038.
- The Gross Koblitz formula revisited
- A. Robert, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 105 (2001) 157 170
- Gaussian sums, Dedekind sums and the Jacobi triple product identity
- Robert SCZECH, Kyushu Journal of Mathematics, Vol. 49 (1995) , No. 2 233-241
- The determination of Gauss sums
- Bruce C. Berndt and Ronald J. Evans, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 5, Number 2 (1981), 107-129
- Gauss Sums and the p-adic Γ-function
- Benedict H. Gross and Neal Koblitz, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 109, No. 3 (May, 1979), pp. 569-581
- Matthews, C. R. “Gauss Sums and Elliptic Functions: II. The Quartic Sum.” Inventiones Mathematicae 54, no. 1 (February 1979): 23–52. doi:10.1007/BF01391175.
- Matthews, C. R. “Gauss Sums and Elliptic Functions.” Inventiones Mathematicae 52, no. 2 (June 1979): 163–85. doi:10.1007/BF01403063.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q7268351
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'quadratic'}, {'LOWER': 'gauss'}, {'LEMMA': 'sum'}]