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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
 
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* [[가우스 합과 데데킨트 합의 관계]]
  
 
 
 
 
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*  remark<br> 이 정의는  [[데데킨트 합]] 에서의 정의와는 다르다<br><math>s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1}  \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)</math><br>
 
*  remark<br> 이 정의는  [[데데킨트 합]] 에서의 정의와는 다르다<br><math>s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1}  \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)</math><br>
  
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<h5>가우스 합과 데데킨트 합의 관계</h5>
  
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<math>\operatorname{Ga}(a,c)=\exp(-\pi i \operatorname{ddk}(a,c))</math>
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* <math>\operatorname{Ga}(a,c)=\exp(-\pi i \operatorname{ddk}(a,c))</math>
  
 
 
 
 
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* [[#]]<br> Jacobi triple product<br><math>\sum_{n=-\infty}^\infty  z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty  \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)</math><br>
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* [[자코비 삼중곱(Jacobi triple product)]]<br><math>\sum_{n=-\infty}^\infty  z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty  \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)</math><br>
 
* <math>z=1</math> 인 경우
 
* <math>z=1</math> 인 경우
  
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<math>\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim  \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}</math>
 
<math>\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim  \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}</math>
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* asymptotic analysis of basic hypergeometric series
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* asymptotic analysis of modular function
  
 
 
 
 

2012년 4월 22일 (일) 12:24 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

정의
  • 데데킨트합
    \(\operatorname{ddk}(a,c)=\frac{1}{4 c}\sum _{n=0}^{c-1} \cot \left(\frac{\pi (2 n+1)}{2 c}\right) \cot \left(\pi \left(\frac{a (2 n+1)}{2 c}+\frac{1}{2}\right)\right)\)
  • 가우스합
    \(\operatorname{Ga}(a,c)=\frac{1}{\sqrt{c}}\sum _{r=0}^{|c|-1} \exp \left(\frac{i \pi a r^2}{c}\right)\)
  • remark
    이 정의는  데데킨트 합 에서의 정의와는 다르다
    \(s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)\)

 

 

가우스 합과 데데킨트 합의 관계
  • \(\operatorname{Ga}(a,c)=\exp(-\pi i \operatorname{ddk}(a,c))\)

 

 

 

메모

 

 

\(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + q^{2m-1}\right)^2\)

 

 

 

 

 

\(\sqrt{t}\theta(\frac{p}{q}+it)\sim \frac{1}{q}S(p,q)=\frac{1}{q}\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}\)

 

\(\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}\)

 

 

  • asymptotic analysis of basic hypergeometric series
  • asymptotic analysis of modular function

 

 

 

 

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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