"1차원 가우시안 적분"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
  
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<math>\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}</math>
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<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math> 의 적분을 Gaussian integral 이라고 한다.
  
 
 
 
 
  
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<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
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<math>e^{-x^2}</math> 라는 함수는, 시도해 보면 알겠지만, 부정적분이 잘 되지 않는다. 하지만 우리는 부정적분을 알지 못해도 <math>(-\infty,\infty)</math> 에서의 정적분을 계산할 수 있다.
  
 
 
 
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
 
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
  
 
 
 
 
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<h5>메모</h5>
 
<h5>메모</h5>
  
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함수 <math>e^{-x^2}</math> 는 정규분포함수에도 등장한다. 평균이 <math>\mu</math> 이고 분산이 <math>\sigma^2</math> 인 확률변수의 확률밀도함수는
  
 
 
 
 

2009년 11월 8일 (일) 03:47 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

간단한 소개

\(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}\) 의 적분을 Gaussian integral 이라고 한다.

 

\(e^{-x^2}\) 라는 함수는, 시도해 보면 알겠지만, 부정적분이 잘 되지 않는다. 하지만 우리는 부정적분을 알지 못해도 \((-\infty,\infty)\) 에서의 정적분을 계산할 수 있다.

 

 

 

역사

 

 

메모

함수 \(e^{-x^2}\) 는 정규분포함수에도 등장한다. 평균이 \(\mu\) 이고 분산이 \(\sigma^2\) 인 확률변수의 확률밀도함수는

 

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1. \(\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA\)

\(\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta=2\pi\int_{0}^{\infty}re^{-r^2}dr=2\pi[-\frac{1}{2}e^{r^2}]_{0}^{\infty}=\pi\)

 

 

 

2. \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\)

\(\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-y^2}dxdy=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy)=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)^2\)

 

\(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}\)

\(x=\frac{t}{\sqrt{2}}\),

\(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\)

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