1차원 가우시안 적분

수학노트
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개요

  • 가우시안 적분(Gaussian integral)

\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}\] \[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\] \[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}ax^2}dx=\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\] \[\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{1}{2}aix^2}dx=\sqrt{\frac{2\pi i }{a}}\]

  • \(e^{-x^2}\) 의 부정적분은 초등함수로 표현할 수 없다
  • 부정적분을 초등함수로 표현할 수 없으나 \((-\infty,\infty)\) 에서의 정적분을 계산할 수 있다.
  • 가우시안 적분은 유리수에서의 감마함수의 값으로 표현할 수 있다
  • 1차항이 있는 경우의 가우시안 적분은 다음과 같이 주어진다

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}ax^2+bx} dx=\sqrt{ \frac{2\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{2a}} \]

극좌표 치환을 이용한 계산

  • 극좌표계로의 치환 \(x = r \cos \theta, y = r \sin \theta\)을 이용하여 다음을 얻는다

\[ \begin{aligned} \int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA=& \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta \\ {}=& 2\pi\int_{0}^{\infty}re^{-r^2}dr \\ {}=& 2\pi[-\frac{1}{2}e^{r^2}]_{0}^{\infty}\\ {}=& \pi \end{aligned} \]

이제 \[\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-y^2}dxdy=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy)=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)^2\] 로부터, \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}\)을 얻는다. \(x=\frac{t}{\sqrt{2}}\) 로 치환하면, 다음을 얻는다. \[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\]


감마함수와의 관계

  • 감마함수를 이용하여 가우시안 적분을 표현할 수 있다\[\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\]\[2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}\]
  • \(x=\sqrt{t}\)로 치환하면,\[2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\] 를 얻는다. 따라서\[\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\]
  • 더 일반적으로, 다음이 성립한다. \[\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n+1}{2})\]\[\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^m}dx=\frac{1}{m}\Gamma(\frac{n+1}{m})\]



일반화

  • 정수 \(n\ge 0\)에 대하여,

\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}x^n e^{-\frac{a x^2}{2}}\,dx=& \left[\left(\frac{\partial}{\partial b }\right )^n \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{a x^2}{2}+b x}\,dx\right]_{b=0}\\ {}=& \sqrt{\frac{2\pi}{a}}\left[\left(\frac{\partial}{\partial b }\right )^n e^{\frac{b^2}{2a}}\right]_{b=0} \end{aligned} \]

\[ \begin{array}{c|c} n & \sqrt{\frac{a}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}x^n e^{-\frac{a x^2}{2}}\,dx \\ \hline 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 \\ \hline 2 & \frac{1}{a} \\ \hline 3 & 0 \\ \hline 4 & \frac{3}{a^2} \\ \hline 5 & 0 \\ \hline 6 & \frac{15}{a^3} \\ \hline 7 & 0 \\ \hline 8 & \frac{105}{a^4} \\ \hline 9 & 0 \\ \end{array} \]

  • 다음이 성립한다

\[ \int_{-\infty}^{\infty}x^{2n} e^{-\frac{a x^2}{2}}\,dx=\frac{(2n-1)(2n-3)\cdots 1}{a^n} \]


고차원에서 가우시안 적분

  • A : 양의 정부호인 nxn 대칭행렬
  • 가우시안 적분

\[\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\mathbf{x}^TA\mathbf{x}}d\mathbf{x}=\frac{\pi^{n/2}}{\sqrt{\det{A}}}\]



역사




재미있는 사실

S. P. Thompson: "Once when lecturing in class he [the Lord Kelvin] used the word 'mathematician' and then interrupting himself asked his class: 'Do you know what a mathematician is?' Stepping to his blackboard he wrote upon it: integral from - infinty to + infinity of exp(-x^2)dx = sqrt(pi). Then putting his finger on what he had written, he turned to his class and said, 'a mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you.'" [TLWT]

http://zapatopi.net/kelvin/quotes/#math



메모

함수 \(e^{-x^2}\) 는 정규분포함수에도 등장한다.

평균이 \(\mu\) 이고 분산이 \(\sigma^2\) 인 정규분포를 따르는 확률변수의 확률밀도함수는 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) 와 같이 쓸 수 있다.

계수에서 등장하는 \(\sqrt{2\pi}\) 는, 확률밀도함수의 정규화(전사건의 확률이 1이 되도록 해 주는 것)를 위한 것이다. 즉, \(e^{- \frac{x^2}{2\sigma^2}}\) 를 실수 전체에서 적분하면 \(\sqrt{2\pi}\sigma\) 가 된다.



관련된 항목들




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  • [{'LOWER': 'gaussian'}, {'LEMMA': 'integral'}]
  • [{'LOWER': 'euler'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'poisson'}, {'LEMMA': 'integral'}]
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