N차원 가우시안 적분

수학노트
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개요

  • 1차원 가우시안 적분 의 $n$차원에서의 일반화
  • $A=(A_{ij})$ : 양의 정부호인 $n\times n$ 대칭행렬
  • 가우시안 적분

\[\int_{\mathbb{R}^n}\exp\left( - \frac {1}{2} \sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)\,d\mathbf{x}=\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det{A}}}\]

  • 1차항이 있는 경우는 다음과 같이 주어진다

$$ \int_{\mathbb{R}^n} \exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n}b_i x_i\right)\,d\mathbf{x}=\sqrt{ \frac{(2\pi)^n}{\det{A}} }\exp\left(\frac{1}{2}\mathbf{b}^{t}A^{-1}\mathbf{b}\right) \tag{1} $$


일반화

  • 적당한 decay 조건을 만족시키는 함수 $f$에 대하여, 다음이 성립한다

$$ \int_{\mathbb{R}^n} f(\vec x) \, \exp\left( - \frac {1}{2} \sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right) \,d\mathbf{x}=\sqrt{(2\pi)^n\over \det A} \, \left. \exp\left({1\over 2}\sum_{i,j=1}^{n}(A^{-1})_{ij}{\partial \over \partial x_i}{\partial \over \partial x_j}\right)f(\vec{x})\right|_{\vec{x}=0} $$


$$ \sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2}e^{-\pi t (x^2+x y+y^2)}=\frac{2}{t\sqrt{3}}\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2}e^{-\frac{4\pi}{3t}(x^2+x y+y^2)} $$

  • 이를 얻는 과정에 다음과 같은 적분이 등장

$$ \hat{f}(u,v):=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-\pi t (x^2+x y+y^2)+2 \pi i (u x+v y)\right)\,dydx \tag{2} $$

  • (1)을 적용하기 위해 $A=2\pi t\left( \begin{array}{cc} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{array} \right),\, \mathbf{b}=2\pi i (u,v)$로 두면, 다음을 확인할 수 있다

$$ \det A=3 \pi ^2 t^2, \\ A^{-1}=\left( \begin{array}{cc} \frac{2}{3 \pi t} & -\frac{1}{3 \pi t} \\ -\frac{1}{3 \pi t} & \frac{2}{3 \pi t} \end{array} \right),\\ \mathbf{b}^{t}A^{-1}\mathbf{b}=-\frac{8 \pi \left(u^2-u v+v^2\right)}{3 t} $$

  • 따라서 (2)는 다음과 같다

$$ \hat{f}(u,v)=\frac{2}{\sqrt{3} t}\exp\left(-\frac{4 \pi \left(u^2-u v+v^2\right)}{3 t}\right) $$


(1)의 증명

정리

\[\int_{-\infty}^\infty\prod_{i=1}^n d\sigma_i\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n\sigma_iA_{ij}\sigma_j+\sum_{i=1}^n h_i\sigma_i\right)\\=\frac{(2\pi)^{n/2}}{|A|^{1/2}}\exp\left(\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^nh_iA_{ij}^{-1}h_j\right)\]

이게 가우스 변환인데요, 이징 모형의 범함수 적분 형태에서 증명 없이 이용한 적이 있습니다.


증명

A는 대칭행렬이므로 대각화가 가능하고 A의 고유값과 고유벡터를 구한 후 고유벡터로 이루어진 행렬 U를 이용해서 다음처럼 쓸 수 있습니다. \[A=U\lambda U^{-1},\ \lambda=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\]

위 두번째 식은 행렬 λ가 A의 고유값들로 이루어진 대각 행렬이라는 걸 말합니다. 즉 λ의 대각 요소만 0이 아니며 이 요소들 각각이 A의 고유값이라는 거죠. σi들로 이루어진 벡터를 편의상 σ으로 쓰고 hi들로 이루어진 벡터를 편의상 h로 쓰겠습니다. 위의 U를 이용해서 σ와 h도 변환시켜줍니다. \[\sigma=U\tau,\ h=Ux\]

이제 위 가우스 변환의 좌변을 벡터와 행렬로 다시 쓰고... 블라블라... 해주면 아래와 같습니다. \[ \begin{aligned} \int\prod_{i}d\sigma_i\exp\left(-\frac{1}{2}\sigma^TA\sigma+h^T\sigma\right) &= \int\prod_id\tau_i\exp\left(-\frac{1}{2}\tau^T\lambda\tau+x^T\tau\right)\\ &=\int\prod_id\tau_i\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_i\lambda_i\tau_i^2+\sum_ix_i\tau_i\right)\\ &= \prod_i\int d\tau_i \exp\left(-\frac{1}{2}\lambda_i\tau_i^2+x_i\tau_i\right)=\prod_i\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_i}}\exp\left(x_i^2/2\lambda_i\right)\\ &= \frac{(2\pi)^{n/2}}{|A|^{1/2}}\exp\left(\frac{1}{2}\sum_ix_i\lambda_i^{-1}x_i\right)= \frac{(2\pi)^{n/2}}{|A|^{1/2}}\exp\left(\frac{1}{2}x^T\lambda^{-1}x\right) \\ &= \frac{(2\pi)^{n/2}}{|A|^{1/2}}\exp\left(\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^nh_iA_{ij}^{-1}h_j\right) \end{aligned} \]


증명의 아이디어는 A를 대각화하여 얽혀 있는 σi들을 서로 떼어놓음으로써 각 σi에 대한 적분이 가능해진다는 거죠.



메모


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