이징 모형의 범함수 적분 형태

수학노트
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개요

예전에 통계장론에 나오는 란다우-긴즈버그 모형을 소개한 적이 있습니다. 그때는 그냥 그런 항들이 필요하다... 정도로만 썼고 그에 대한 논의는 차원분석에 관한 글에서 한 적이 있지요. 오늘은 아미트(D.J. Amit)의 <장론, 되틀맞춤무리, 임계현상(Field Theory, the Renormalization Group and Critical Phenomena)>이라는 책을 참고하여 이징 모형(Ising model)에서 바로 란다우-긴즈버그 모형의 범함수 적분(functional integral) 형태를 유도하는 걸 써보려고 합니다.


란다우-긴즈버그 모형

이징 모형에서 시작합시다. 스핀들의 상태를 $\{s_i\}$라고 하면 에너지는 다음과 같습니다.

\[E\{s_i\}=-\sum_{i,j}J_{ij}s_is_j-\sum_ih_is_i\]

그럼 분배함수는 다음처럼 씌어집니다.

\[Z\{H_i\}=\sum_{\{s_i\}}\exp[-\beta E\{s_i\}]=\sum_{\{s_i\}}\exp\left[K_{ij}s_is_j+\sum_iH_is_i\right]\]

J, h들에 β를 곱한 걸 각각 K, H로 다시 썼습니다. 이제 다음처럼 씌어지는 가우스 변환을 이 분배함수에 적용합니다.

\[\int_{-\infty}^\infty \prod_{i=1}^N dx_i\exp\left(-\frac{1}{4}x_iV_{ij}^{-1}x_j+s_ix_i\right)=const.\times \exp(s_iV_{ij}s_j)\]

하나의 항에 반복되는 아래첨자가 있는 경우 그에 대한 합 기호는 생략되어 있습니다. 이 식은 한 번 유도해보시고요. 여기서 위의 좌변이 발산하지 않으려면 행렬 V의 고유값이 모두 0보다 커야 한다는 조건이 나옵니다. 위 변환의 우변이 분배함수의 지수 안의 첫째 항과 비슷하죠. 그래서 분배함수는 새로운 변수 φ를 도입하여 다음처럼 쓸 수 있습니다.

\[Z\{H_i\}=\sum_{\{s_i\}}\int_{-\infty}^\infty \prod_{i=1}^N d\phi_i\exp\left[-\frac{1}{4}\phi_iK_{ij}^{-1}\phi_j+(\phi_i+H_i)s_i\right]\]

여기서 φ를 모두 φ - H로 바꿔주면,

\[Z\{H_i\}=\int_{-\infty}^\infty \prod_{i=1}^N d\phi_i\exp\left[-\frac{1}{4}(\phi_i-H_i)K_{ij}^{-1}(\phi_j-H_j)\right]\times \sum_{\{s_i\}}\exp(\phi_is_i)\]

이 됩니다. 맨 뒤의 합 부분은 각 si가 +1과 -1의 값을 가지므로 다음처럼 계산됩니다.

\[\sum_{\{s_i\}}\exp(\phi_is_i)=\prod_i 2\cosh\phi_i=const.\times \exp\left[\sum_i\ln(\cosh\phi_i)\right]\]

그런데

\[\ln(\cosh x)\approx \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{12}x^4+\cdots\]

이므로 φ의 제곱, 네제곱 항이 이로부터 나온다는 걸 알 수 있습니다. 또한 위의 분배함수에서 $\phi K^{-1} \phi$로부터 φ를 공간으로 미분한 항이 나온다고 합니다. 이를 정리하고, 라그랑지안을 아래처럼 정의하면 결과적으로 아래 마지막줄의 란다우-긴즈버그 모형이 유도됩니다.

\[Z=\int \mathcal{D}\phi\exp\left[-\int dx \mathcal{L}[\phi(x)]\right]\\\ \mathcal{L}[\phi(x)]=A_0(\partial\phi)^2+A_1\phi^2+A_2\phi^4+h\phi\]

끝입니다.

 


$\phi K^{-1} \phi$로부터 φ를 공간으로 미분한 항이 나온다고 합니다."에 대해 간단히 쓰겠습니다.

우선 행렬 K는 이웃한 스핀 사이의 강자성 상호작용에 대한 행렬입니다. 예를 들어 3개의 스핀이 모두 같은 상호작용 세기로 연결되어 있다고 하고 상수는 그냥 1로 처리하면 K는 다음처럼 씌어집니다.

\[K=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]\]

이 행렬의 역행렬은 다음과 같습니다.

\[K^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]\]

그러므로 $\phi K^{-1} \phi$는 다음처럼 나옵니다.

\[\sum_{i,j=1}^3\phi_iK^{-1}_{ij}\phi_j=\phi_1\phi_2+\phi_2\phi_3+\phi_3\phi_1-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3\phi_i^2\\=-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3}(\phi_i-\phi_{i+1})^2+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3}\phi_i^2\]

맨 오른쪽에서 첫번째 항이 φ를 공간으로 미분한 항이며, 두번째 항은 $\ln \cosh \phi$ 를 전개해서 나오는 φ의 제곱 항으로 흡수됩니다.

마지막으로 짚어야 할 점은, 가우스 변환을 하면서 변수가 스핀 s로부터 장 φ로 변환되었는데 여기서 φ는 가우스 변환에서 '임의로' 도입된 변수로서 s에서 직접 유도된 양이 아니므로 그 물리적 의미가 무엇인지 모호합니다. 이에 대해서는 좀더 생각해봐야겠네요.


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