판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)

개요

• 복소타원곡선의 판별식으로부터 weight이 12인 모듈라 형식 \(\Delta(\tau)\)이 얻어짐
• 푸리에 전개 \(\Delta(\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\)로부터 얻어지는 계수 \(\tau(n)\)를 라마누잔의 타우 함수라 하며, 이는 많은 흥미로운 수론적 성질을 가짐

판별식 함수

타원곡선의 판별식

• \(\tau\in \mathbb H\) 에 대응되는 타원곡선 \(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)\) 의 판별식은 다음과 주어짐

\[F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2\] 여기서 \(g_2, g_3\)는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)

• 정의에 따라 \(F\)는 weight 12인 모듈라 형식이 됨
• 한편, \(g_2(i\infty)=4\pi^4/3\), \(g_3(i\infty)=8\pi^6/27\) 이므로,\[F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0\]
• 따라서 cusp 형식이 됨
• 이 함수의 \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개는 다음과 같다

\[F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2=(2\pi)^{12}(q-24q+252q^2\cdots)\]

정의

• 판별식 함수를 다음과 같이 정의

\[\Delta(\tau):=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\] 여기서 \(E_4, E_6\)는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)

모듈라 성질

• 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨

\[\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\]

무한곱 표현과 데데킨트 에타함수

• 데데킨트 에타함수\[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\] 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, 판별식 함수와 같게 됨. 즉,\[\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\]

라마누잔의 타우 함수

• 판별식 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,\[\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\]

라마누잔의 추측

1. 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\tau(mn)=\tau(m)\tau(n) \label{ram1}\)
2. 소수 \(p\)와 자연수 \(r\)에 대하여, \(\tau(p^{r + 1}) = \tau(p)\tau(p^r) - p^{11}\tau(p^{r - 1}) \label{ram2}\)
3. 소수 \(p\)에 대하여, \(|\tau(p)| \leq 2p^{11/2} \label{ram3}\)

• 1917년 모델 (Mordell)이 처음 두 성질을 증명
• 1974년 Deligne이 Weil 추측을 증명함으로써 해결됨

헤케 L-급수

• 헤케 L-급수를 다음과 같이 정의

\[ L(\Delta,s):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \quad \Re(s)>\frac{13}{2} \]

• 라마누잔 타우 함수의 성질 \ref{ram1}로부터 다음의 무한곱을 얻는다

\[ L(\Delta,s)=\prod_{p}L_p(\Delta,s) \label{hecke} \] 여기서 \[ L_p(\Delta,s)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\tau(p^n)}{(p^s)^n} \]

• 성질 \ref{ram2}를 사용하여 다음을 얻는다

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n+1})x^{n+1}=x \tau (p)\left(\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n})x^{n}\right)-p^{11} x^2\left(\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n-1})x^{n-1}\right) \] 따라서, \[ \sum_{n=0}^{\infty} \tau(p^n)x^n=\frac{1}{1- \tau (p) x+p^{11} x^2} \] 그리고 \[ L_p(\Delta,s)=\frac{1}{1-p^{-s} \tau (p)+p^{11-2 s}} \]

• 이제 \ref{hecke}은 다음과 같이 쓸 수 있다

\[ L(\Delta,s)=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s} \tau (p)+p^{11-2 s}} \]

• L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수

Lehmer의 추측

• 모든 \(n\in \mathbb{N}\)에 대하여 \(\tau(n)\neq 0 \)이다
• http://mathoverflow.net/questions/31058/the-vanishing-of-ramanujans-function-taun
• 미해결

테이블

\[ \begin{array}{c|c} n & \tau(n) \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -24 \\ 3 & 252 \\ 4 & -1472 \\ 5 & 4830 \\ 6 & -6048 \\ 7 & -16744 \\ 8 & 84480 \\ 9 & -113643 \\ 10 & -115920 \\ 11 & 534612 \\ 12 & -370944 \\ 13 & -577738 \\ 14 & 401856 \\ 15 & 1217160 \\ 16 & 987136 \\ 17 & -6905934 \\ 18 & 2727432 \\ 19 & 10661420 \\ 20 & -7109760 \\ \end{array} \]

메모

• http://mathoverflow.net/questions/161172/ramanujans-tau-function
• Hecke’s theory of Hecke operators
• Serre’s theory of modular l-adic Galois representations
• Ramanujan-Petersson Conjectures
• Lee, Will Y. 2014. “Lehmer’s Conjecture on the Non-Vanishing of Ramanujan’s Tau Function.” arXiv:1406.3607 [math], June. http://arxiv.org/abs/1406.3607.
• Lee, Will Y. “Elementary Proof of Lehmer’s Conjecture on Non-Vanishing of Tau Function.” arXiv:1506.02098 [math], June 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.02098.

관련된 항목들

• 데데킨트 에타함수
• 라마누잔(1887- 1920)
• 수론적 함수(산술함수, arithmetic function)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZnNfcFpJNXR4OWM/edit
• http://oeis.org/A000594
• http://aleph.sagemath.org/?q=3a221ddb-d5ba-4c2e-9f0e-7446d8170b21&lang=sage
• http://mathworld.wolfram.com/TauFunction.html

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_tau_function
• http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan–Petersson_conjecture

리뷰, 에세이, 강의노트

• Murty, M. Ram, and V. Kumar Murty. 2013. “The Ramanujan τ-Function.” In The Mathematical Legacy of Srinivasa Ramanujan, 11–23. Springer India. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-81-322-0770-2_2.
• Rankin, R. A. 1986. “Fourier Coefficients of Cusp Forms.” Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100 (1): 5–29. doi:http://dx.doi.org/10.1017/S030500410006583X.

관련논문

• Tian, Peng, and Hourong Qin. ‘Non-Vanishing Fourier Coefficients of Modular Forms’. arXiv:1504.07381 [math], 28 April 2015. http://arxiv.org/abs/1504.07381.
• Lehmer, D.H. The vanishing of Ramanujan’s τ(n), Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)
• Mordell, L. J., On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions, Cambr. Phil. Soc. Proc. 19, 117-124 (1917)

메타데이터

위키데이터

• ID : Q3535240