번사이드 보조정리

개요

• \(G\) : 유한군
• \(X\) \[G\]가 작용하는 유한집합
• \(X^g=\{x\in X| gx=x\}\)
• 다음이 성립한다

\[|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|\]

응용

3차원 유한회전군

• 3차원 유한회전군의 분류 항목 참조
• \(G\)가 \(SO(3)\)의 유한회전군이라 하고, 각 \(g\in G,g\neq 1\)의 회전축상에 놓인 구면위의 점들의 집합을 \(X\)라 하자. 즉 \(X=\{x\in S^2|gx=x, \text{for some }g\in G,g\neq 1\}\)
• \(g\neq 1\)은 두 점만을 고정하므로, 번사이드 정리에 의하여 다음을 얻는다

\[|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|=\frac{|X|}{|G|}+2-\frac{2}{|G|}\label{burn1}\]

• 궤도 \(C\in X/G\)에 대하여, \(|G_x|, x\in C\)는 \(x\)에 의존하지 않으며, 따라서 \(|G_C|:=|G_x|\)는 잘 정의된다. 이 때, \(|C|=|G|/|G_C|\)이 성립한다
• \(|X|=\sum_{C}|C|=\sum_{C}|G|/|G_C|\)로부터 다음을 얻는다

\[|X/G|-\frac{|X|}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|}\label{burn2}\]

• \ref{burn1}과 \ref{burn2}로부터 다음을 얻는다

\[ 2-\frac{2}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|} \]

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 군론
  • group action

메모

• http://simomaths.wordpress.com/2013/01/13/burnsides-lemma-and-polya-enumeration-theorem-1/
• http://users.wpi.edu/~bservat/strippat.pdf

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/번사이드_보조정리
• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/burnside's_lemma

관련논문

• Neumann, Peter M., A lemma that is not Burnside's.

메타데이터

위키데이터

• ID : Q1330377

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'burnside'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'lemma'}]