3차원 유한회전군의 분류

수학노트
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개요

  • SO(3) = 2차원 구면의 회전변환으로 이루어진 군
  • SO(3)의 유한부분군의 분류는 다음과 같이 주어짐


SU(2)의 유한부분군

  • binary polyhedral groups
  • binary Tetrahedral groups
    • <math>\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,\tfrac{1}{2}(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)\}</math>
    • group of order 24



분류 정리의 증명

<math>\Gamma</math> 를 크기가 n인 3차원 회전군이라 하고, 정다면체의 꼭지점들은 단위구 위에 놓여있다고 가정하자.

각각의 원소에 대하여, 회전축상에 놓인 구면위의 두 점을 극점이라고 부르자.

각 극점 p에 대하여, p를 고정하는 부동부분군은 크기가 <math>v_p\geq 2</math>인 순환군이 된다.

<math>\Gamma</math>에 의한 p의 궤도의 집합을 <math>C_p</math>라 하면, <math>|C_p|=\frac{n}{v_p}</math>가 된다.

이제 집합 <math>S=\{(g,p)|g\neq 1\in \Gamma, gp=p\}</math> 의 원소의 개수를 두 가지 방법으로 센다.

1) 항등원이 아닌 각각의 원소는 두 개의 극점을 가지므로, <math>|S|=2(n-1)</math>

2) 각각의 극점 p에 대하여, p를 고정하는 항등원이 아닌 원소의 개수는 <math>v_p-1</math> 이므로, <math>|S|=\sum_{p}(v_p-1)</math>

극점들을 움직이는 <math>\Gamma</math>에 의한 궤도 <math>C</math>의 크기를 <math>n_{C}</math>라 하면, 위에서 얻은 두 식을 다음과 같이 쓸 수 있다 :

<math>2(n-1)=\sum_{C}n_{C}(v_{C}-1)</math>

여기서 <math>v_C</math>는 궤도 <math>C</math>의 원소 <math>p</math>에 대하여 <math>v_p</math>를 뜻하고, 이는 궤도 안의 모든 점에 대하여 같은 값을 가지므로 잘 정의되어 있다.

위 식의 양변을 <math>n</math>으로 나누면, 다음의 디오판투스 방정식을 얻는다:

<math>2-\frac{2}{n}=\sum_{C}(1-\frac{1}{v_{C}})\label{dioph}</math>

<math>n\geq 2</math> 이고, <math>1\leq 2-\frac{2}{n}< 2</math>, <math>\frac{1}{2}\leq (1-\frac{1}{v_{C}}) < 1</math> 이므로, 총 궤도의 개수는 2 또는 3이 된다.


궤도가 2개인 경우

  • \ref{dioph}는 다음과 같이 쓰여진다
<math>\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}} \iff 2=\frac{n}{v_{1}}+\frac{n}{v_{2}}=n_1+n_2</math>

따라서 <math>n_1=n_2=1</math> 을 얻고, 이 경우 <math>\Gamma</math>는 크기가 n인 순환군이다.


궤도가 3개인 경우

  • \ref{dioph}는 다음과 같이 쓰여진다
<math>1+\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}+\frac{1}{v_{3}}</math>

해는 다음과 같다

<math>(v_1,v_2,v_3)=(2,2,\frac{n}{2}), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)</math>

각각의 경우는 정이면체군, 정사면체군, 정팔면체군, 정이십면체군에 해당한다


관련된 항목들


관련도서


사전형태의 자료


관련논문

  • Bakry, Dominique, and Xavier Bressaud. ‘Diffusions with Polynomial Eigenvectors via Finite Subgroups of O(3)’. arXiv:1507.01394 [math], 6 July 2015. http://arxiv.org/abs/1507.01394.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'point'}, {'LOWER': 'groups'}, {'LOWER': 'in'}, {'LOWER': 'three'}, {'LEMMA': 'dimension'}]
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