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*  An Elementary Introduction to the Hopf Fibration<br><br> David W. Lyons<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/2315620 The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces]<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/2315620 The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces]<br>
 
** Bertram Walsh, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194
 
** Bertram Walsh, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194

2010년 10월 4일 (월) 19:51 판

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개요
  • \(\mathbb R^n\) 은 division algebra이다 \(\iff\)\(n=1,2,4,8\)
  • \(S^n\) 는 H-space 이다. \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
  • \(S^n\) 은 n개의 일차독립인 벡터장을 갖는다 \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
  • fiber 번들 \(S^p \to S^q \to S^r\) 이 존재한다. \(\iff\)\((p,q,r) = (0,1,1),(1,3,2),(3,7,4),(7,15,8)\)

 

 

프로베니우스의 정리
  • 실수 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 유한차원 division algebras
  • 프로베니우스의 정리
    any associative division algebra over R is isomorphic to R, C or H.

 

composition 대수에 관한 후르비츠의 정리
  • 체 위에 정의된 composition 대수는 항등원 1 (즉 모든 원소 x 에 대하여 \(1\cdot x = x \cdot 1= x\)을 만족시키는 원소)을 갖는 normed 대수이다
  • 후르비츠의 정리
    실수체 \(\Bbb{R}\) 위에 정의된 composition 대수는 실수 \(\Bbb{R}\), 복소수 \(\Bbb{C}\), 사원수 \(\Bbb{H}\), 팔원수 \(\Bbb{O}\) 뿐이다.
  • 실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이면서 division algebra이 다음을 만족시킬 경우, normed division algebra로 정의
    \( \|x \, y\| \ = \|x \| \, \| y\|\)
  • normed division algebra는 composition 대수의 특별한 경우이다

 

 

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