"다이감마 함수(digamma function)"의 두 판 사이의 차이
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* [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)|차분방정식]]에서 자연스럽게 등장함.<br> | * [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)|차분방정식]]에서 자연스럽게 등장함.<br> | ||
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* 정의<br><math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math><br> | * 정의<br><math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math><br> | ||
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[[감마함수]]의 무한곱표현 | [[감마함수]]의 무한곱표현 | ||
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| − | 위의 식에 로그미분을 취하여 얻는다. | + | 위의 식에 로그미분을 취하여 얻는다. ■ |
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* <math>z = 0, -1, -2, -3, \cdots</math> 에서 pole을 가진다 | * <math>z = 0, -1, -2, -3, \cdots</math> 에서 pole을 가진다 | ||
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| + | ==함수의 그래프== | ||
| − | < | + | * <math>-5<x<5</math>일 때, <math>\psi(x)</math>의 그래프 |
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| − | * [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)|차분방정식]]<br><math>\Delta \psi=\frac{1}{x}</math> | + | * [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)|차분방정식]]<br><math>\Delta \psi=\frac{1}{x}</math> 즉, <br> |
<math>\psi(x + 1) - \psi(x) = \frac{1}{x}</math> | <math>\psi(x + 1) - \psi(x) = \frac{1}{x}</math> | ||
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* 일반화<br><math>\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}</math><br> | * 일반화<br><math>\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}</math><br> | ||
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| − | * 급수표현<br><math>\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}</math><br><math>\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}</math><br> | + | * 급수표현<br><math>\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}</math><br><math>\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}</math><br> 여기서 <math>B_{n}</math>은 [[베르누이 수]]<br> |
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* [[감마함수]]의 반사공식<br><math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math><br> | * [[감마함수]]의 반사공식<br><math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math><br> | ||
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<math>\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }</math> | <math>\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }</math> | ||
| − | + | 여기서 <math>x</math>를 <math>-x</math>로 두면 다음을 얻는다 | |
<math>\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }</math> | <math>\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }</math> | ||
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* [[감마함수]]의 곱셈공식에 따른 성질<br><math>m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)</math><br> | * [[감마함수]]의 곱셈공식에 따른 성질<br><math>m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)</math><br> | ||
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| − | [[감마함수]]의 곱셈공식은 적당한 상수 c에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다. | + | [[감마함수]]의 곱셈공식은 적당한 상수 c에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다. |
<math>m^{mz}\Gamma(z)\cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = c\Gamma(mz)</math> | <math>m^{mz}\Gamma(z)\cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = c\Gamma(mz)</math> | ||
| − | 변수를 x로 바꾸고, | + | 변수를 x로 바꾸고, 로그를 취하면, |
<math>(m\ln m)x+\ln \Gamma(x) +\ln \Gamma\left(x + \frac{m-1}{m}\right) =\ln c+\ln \Gamma(mx)</math> | <math>(m\ln m)x+\ln \Gamma(x) +\ln \Gamma\left(x + \frac{m-1}{m}\right) =\ln c+\ln \Gamma(mx)</math> | ||
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미분하면, | 미분하면, | ||
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* 이항 덧셈공식<br><math>2\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+2\ln 2</math><br> | * 이항 덧셈공식<br><math>2\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+2\ln 2</math><br> | ||
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<math>\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)</math> | <math>\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)</math> | ||
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<math>\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)</math> | <math>\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)</math> | ||
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<math>\psi(1) = -\gamma\,\!</math> | <math>\psi(1) = -\gamma\,\!</math> | ||
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<math>\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma</math> | <math>\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma</math> | ||
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | ||
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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* [[감마함수]]<br> | * [[감마함수]]<br> | ||
* [[디리클레 L-함수]]<br> | * [[디리클레 L-함수]]<br> | ||
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| − | + | ==수학용어번역== | |
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr= | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr= | ||
| − | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 | + | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] |
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| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
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| − | + | ==관련논문== | |
| − | * [http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2009.02.007 Linear independence of digamma function and a variant of a conjecture of Rohrlich] Sanoli Gun, M. Ram Murty, and Purusottam Rath, Journal of Number Theory, | + | * [http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2009.02.007 Linear independence of digamma function and a variant of a conjecture of Rohrlich] Sanoli Gun, M. Ram Murty, and Purusottam Rath, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 8, August 2009, Pages 1858-1873 |
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
* http://dx.doi.org/ | * http://dx.doi.org/ | ||
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| + | ==관련도서== | ||
* [http://books.google.com/books?id=yoGvQAAACAAJ Methods of Summation]Bertram Ross | * [http://books.google.com/books?id=yoGvQAAACAAJ Methods of Summation]Bertram Ross | ||
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2012년 10월 18일 (목) 13:47 판
개요
- 감마함수의 로그미분으로 정의
- 차분방정식에서 자연스럽게 등장함.
정의와 급수표현
- 정의
\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\) - 급수표현
\(\psi(z)=-\frac{1}{z} -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} , z \neq 0, -1, -2, -3, \cdots\)
(증명)
감마함수의 무한곱표현
\(\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\)
위의 식에 로그미분을 취하여 얻는다. ■
- \(z = 0, -1, -2, -3, \cdots\) 에서 pole을 가진다
함수의 그래프
- \(-5<x<5\)일 때, \(\psi(x)\)의 그래프
1.gif)
도함수와 polygamma 함수
- trigamma \(\psi^{(1)}(z)\)
- tetragamma \(\psi^{(2)}(z)\)
- pentagamma \(\psi^{(3)}(z)\)
- 폴리감마함수(polygamma functions)
차분방정식과의 관계
- 차분방정식
\(\Delta \psi=\frac{1}{x}\) 즉,
\(\psi(x + 1) - \psi(x) = \frac{1}{x}\)
- 차분방정식의 기본정리를 적용하면
\(\sum_{n=a}^{b-1}\frac{1}{n}=\psi(b)-\psi(a)\) - 조화급수와의 관계
\(\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\psi(N+1)-\psi(1)=\psi(N+1)-\gamma\) - 일반화
\(\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\)
asymptotic series
- 급수표현
\(\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\)
\(\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}\)
여기서 \(B_{n}\)은 베르누이 수
반사공식
- 감마함수의 반사공식
\(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\) - 위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다
\(\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)
여기서 \(x\)를 \(-x\)로 두면 다음을 얻는다
\(\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)
덧셈공식
- 감마함수의 곱셈공식에 따른 성질
\(m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)\)
(증명)
감마함수의 곱셈공식은 적당한 상수 c에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
\(m^{mz}\Gamma(z)\cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = c\Gamma(mz)\)
변수를 x로 바꾸고, 로그를 취하면,
\((m\ln m)x+\ln \Gamma(x) +\ln \Gamma\left(x + \frac{m-1}{m}\right) =\ln c+\ln \Gamma(mx)\)
미분하면,
\(m\ln m+\psi(x)+\cdots+\psi(x+\frac{m-1}{m})=m\psi(mx)\) ■
- 이항 덧셈공식
\(2\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+2\ln 2\)
가우스의 Digamma 정리
\(\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)\)
\(\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)\)
special values
\(\psi(1) = -\gamma\,\!\)
\(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} +\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{1}{5}\right) =- \gamma-\frac{\pi}{2}\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}-\frac{5}{4}\ln 5-\frac{\sqrt{5}}{4}\ln\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})\)
\(\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma\)
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function
- http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html
- http://www76.wolframalpha.com/input/?i=Digamma+function
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Linear independence of digamma function and a variant of a conjecture of Rohrlich Sanoli Gun, M. Ram Murty, and Purusottam Rath, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 8, August 2009, Pages 1858-1873
관련도서
- Methods of SummationBertram Ross