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*  차분방정식의 기본정리를 적용하면<br><math>\sum_{n=a}^{b-1}\frac{1}{n}=\psi(b)-\psi(a)</math><br>
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* [[조화급수와 조화 평균에서 '조화'란?|조화급수]]와의 관계<br><math>\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\psi(N+1)-\psi(1)=\psi(N+1)-\gamma</math><br>
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* [[조화급수와 조화 평균에서 '조화'란?|조화급수]]와의 관계:<math>\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\psi(N+1)-\psi(1)=\psi(N+1)-\gamma</math><br>
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*  일반화<br><math>\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}</math><br>
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==asymptotic series==
 
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*  급수표현<br><math>\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}</math><br><math>\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}</math><br> 여기서 <math>B_{n}</math>은 [[베르누이 수]]<br>
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*  급수표현:<math>\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}</math>:<math>\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}</math><br> 여기서 <math>B_{n}</math>은 [[베르누이 수]]<br>
  
 
   
 
   
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* [[감마함수]]의 반사공식<br><math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math><br>
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*  위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다<br>
 
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==덧셈공식==
 
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* [[감마함수]]의 곱셈공식에 따른 성질<br><math>m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)</math><br>
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* [[감마함수]]의 곱셈공식에 따른 성질:<math>m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)</math><br>
  
 
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*  이항 덧셈공식:<math>2\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+2\ln 2</math><br>
  
  

2013년 1월 12일 (토) 09:20 판

개요

  • 감마함수의 로그미분으로 정의



정의와 급수표현

  • 정의\[\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\]
  • 급수표현\[\psi(z)=-\frac{1}{z} -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} , z \neq 0, -1, -2, -3, \cdots\]

(증명)

감마함수의 무한곱표현

\(\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\)

위의 식에 로그미분을 취하여 얻는다. ■


  • \(z = 0, -1, -2, -3, \cdots\) 에서 pole을 가진다



함수의 그래프

  • \(-3<x<3\)일 때, \(\psi(x)\)의 그래프

다이감마 함수(digamma function)1.gif


도함수와 polygamma 함수



차분방정식과의 관계

\(\psi(x + 1) - \psi(x) = \frac{1}{x}\)

  • 차분방정식의 기본정리를 적용하면\[\sum_{n=a}^{b-1}\frac{1}{n}=\psi(b)-\psi(a)\]
  • 조화급수와의 관계\[\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\psi(N+1)-\psi(1)=\psi(N+1)-\gamma\]
  • 일반화\[\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\]



asymptotic series

  • 급수표현\[\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\]\[\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}\]
    여기서 \(B_{n}\)은 베르누이 수



반사공식

  • 감마함수의 반사공식\[\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\]
  • 위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다

\(\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)

여기서 \(x\)를 \(-x\)로 두면 다음을 얻는다

\(\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)



덧셈공식

  • 감마함수의 곱셈공식에 따른 성질\[m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)\]

(증명)

감마함수의 곱셈공식은 적당한 상수 c에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(m^{mz}\Gamma(z)\cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = c\Gamma(mz)\)

변수를 x로 바꾸고, 로그를 취하면,

\((m\ln m)x+\ln \Gamma(x) +\ln \Gamma\left(x + \frac{m-1}{m}\right) =\ln c+\ln \Gamma(mx)\)

미분하면,

\(m\ln m+\psi(x)+\cdots+\psi(x+\frac{m-1}{m})=m\psi(mx)\) ■

  • 이항 덧셈공식\[2\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+2\ln 2\]



가우스의 Digamma 정리

\(\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right) \)

\(\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right) \)


special values

\(\psi(1) = -\gamma\,\!\)

\(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{5}\right) =-\gamma -\frac{1}{2} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right)\)

\(\psi\left(\frac{2}{5}\right) =-\gamma -\frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right) \)

\(\psi\left(\frac{3}{5}\right) =-\gamma +\frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right) \)

\(\psi\left(\frac{4}{5}\right) =-\gamma +\frac{1}{2} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right)\)

\(\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{5}{6}\right) = \frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma\)


역사



메모

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

수학용어번역



사전 형태의 자료



관련논문



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