"데데킨트 에타함수"의 두 판 사이의 차이

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<h5>유리수점(cusp) 근처에서의 변화</h5>
 
<h5>유리수점(cusp) 근처에서의 변화</h5>
  
* <math>y>0</math>가 매우 작을 때,<br><math>\sqrt{y}\exp({\frac{\pi}{12k^2y}})\eta(\frac{h}{k}+iy)\sim \frac{e^{\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k))}}{\sqrt{k}}</math><br><math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]<br>
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* <math>y>0</math>가 매우 작을 때,<br><math>\sqrt{y}\exp({\frac{\pi}{12k^2y}})\eta(\frac{h}{k}+iy)\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}</math><br><math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]<br>
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<h5>판별식함수</h5>
 
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* [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|판별식 (discriminant) 함수]] 
 
* [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|판별식 (discriminant) 함수]] 

2010년 1월 13일 (수) 19:10 판

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개요

 

 

모듈라 성질
  • (정리)
    \(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})\)
    여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택
  • 더 일반적으로, \(ad-bc=1\), \(c>0\)인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다.
    \(\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)\)
    여기서,
    \(\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}\)
    \(s(h,k)\)는 데데킨트 합

 

 

유리수점(cusp) 근처에서의 변화
  • \(y>0\)가 매우 작을 때,
    \(\sqrt{y}\exp({\frac{\pi}{12k^2y}})\eta(\frac{h}{k}+iy)\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}\)
    \(s(h,k)\)는 데데킨트 합

 

 

판별식함수

\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

 

 

special values

\(\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8} \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(\frac{i}{2})=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}\)

 

 

 

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