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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> | ||
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* 수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}</math><br> | * 수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}</math><br> | ||
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* 각각의 ideal class <math>A\in C_K</math> 에 대하여, 부분 데데킨트 제타함수를 다음과 같이 정의<br><math>\zeta_{K}(s,A)=\sum_{\mathfrak{a} \in A }\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}</math><br> | * 각각의 ideal class <math>A\in C_K</math> 에 대하여, 부분 데데킨트 제타함수를 다음과 같이 정의<br><math>\zeta_{K}(s,A)=\sum_{\mathfrak{a} \in A }\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}</math><br> | ||
| + | * 제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)</math><br> | ||
| + | * 더 일반적으로 준동형사상 <math>\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여, 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음<br><math>L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)</math><br> | ||
| − | < | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">복소이차수체의 데데킨트 제타함수</h5> |
| − | + | * 복소이차수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨 | |
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| + | <math>\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}=\zeta(s)L(\chi,s)</math> | ||
| − | + | <math>\zeta(s)</math> 는 [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]] 항목을 참조 | |
| − | <math>L(\chi,s | + | <math>L(\chi,s)</math>는 디리클레 L 함수([[디리클레 L-함수]] 항목 참조) |
| − | + | <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시키는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> | |
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<math>L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)</math> | <math>L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)</math> | ||
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위에서 언급한 경우는 <math>{d_K}=1\cdot d_K</math> 에 해당 | 위에서 언급한 경우는 <math>{d_K}=1\cdot d_K</math> 에 해당 | ||
2009년 11월 4일 (수) 17:02 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
기호
\(K\) 수체
\(C_K\) ideal class group
간단한 소개
- 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\) - 예
- 각각의 ideal class \(A\in C_K\) 에 대하여, 부분 데데킨트 제타함수를 다음과 같이 정의
\(\zeta_{K}(s,A)=\sum_{\mathfrak{a} \in A }\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}\) - 제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\) - 더 일반적으로 준동형사상 \(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)에 대하여, 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음
\(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)\)
복소이차수체의 데데킨트 제타함수
- 복소이차수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}=\zeta(s)L(\chi,s)\)
\(\zeta(s)\) 는 리만제타함수와 리만가설 항목을 참조
\(L(\chi,s)\)는 디리클레 L 함수(디리클레 L-함수 항목 참조)
\(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)
일반적으로 \({d_K}=d_1d_2\)에 대응되는 genus character \(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\) (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)) 를 정의할 수 있다.
(정리)
\(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\) (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\))에 대하여
\(L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)\)
위에서 언급한 경우는 \({d_K}=1\cdot d_K\) 에 해당
\(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}\)
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_zeta_function
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
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