"린데만-바이어슈트라스 정리"의 두 판 사이의 차이

2009년 9월 14일 (월) 05:04 판

린데만-바이어슈트라스 정리

서로 다른 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.

또는

대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다.

지수함수의 경우

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수임을 증명할 수 있다.

\(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면 린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\) 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서\(e^{\alpha}\) 는 초월수이다.

지수함수의 실수부와 허수부

로그함수의 경우

위의 증명에서 다음을 얻는다.

0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\log \alpha\) 는 초월수이다.

사인함수의 경우

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\sin {\alpha}\) 는 초월수이다.

\(\{i\alpha},0 {-i\alpha}\}\) 는 서로 다른 대수적 수이므로,

\(\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\)

는 초월수이다.

\(\pi\) 는 초월수이다

파이는 초월수이다 항목 참조

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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">e는 초월수이다</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">지수함수의 경우</h5>
-더 일반적으로 0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수임을 증명할 수 있다.
+이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수임을 증명할 수 있다.
  <math>\alpha</math>가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 에 의해 <math>\{e^0, e^{\alpha}\}</math>  는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서<math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다.
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">지수함수의 실수부와 허수부</h5>
@@ 37번째 줄: / 45번째 줄: @@
 이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\sin {\alpha}</math> 는 초월수이다.
+<math>\{i\alpha},0 {-i\alpha}\}</math> 는 서로 다른 대수적 수이므로,
+<math>\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}</math>
+는 초월수이다.