"무리수와 디오판투스 근사"의 두 판 사이의 차이

2010년 8월 13일 (금) 13:43 판

\(|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2}\)

는 무한히 많은 유리수 \(p/q\)에 의하여 만족된다.

더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠)
무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식
\(|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\)
는 무한히 많은 유리수\(p/q\) 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)
연분수 항목 참조

리우빌 정리 (1844)

무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식
\( \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{c(\alpha)}{q^{d}}\)
의 유리수해 \(p/q\)는 유한하다

무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, 적당한 상수 \(c(\alpha)>0\)가 존재하여, 모든 유리수 \(p/q\)에 대하여 다음 부등식이 만족된다.

\( \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{c(\alpha)}{q^{d}}\)

이 정리를 사용하여, 리우빌 상수 c가 초월수임을 증명할 수 있다
\(c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots\)

주어진 \(\epsilon}>0\)에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식

\(\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}\)

의 유리수해 \(p/q\)는 유한하다

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 <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">리우빌 정리</h5>
-*  리우빌 정리<br>  <br>
+*  리우빌 정리 (1844)<br>  <br> 무리수이면서 차수가 d인 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여,  부등식 <br><math> \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{c(\alpha)}{q^{d}}</math><br> 의 유리수해 <math>p/q</math>는 유한하다<br>
+*   <br>
 무리수이면서 차수가 d인 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 적당한 상수 <math>c(\alpha)>0</math>가 존재하여, 모든 유리수 <math>p/q</math>에 대하여 다음 부등식이 만족된다.