무리수와 디오판투스 근사

 

 

 

 

 

디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)

• 디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)에서 가져옴
  무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식
  

\(|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2}\)

는 무한히 많은 유리수 \(p/q\)에 의하여 만족된다.

• 더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠 정리)
  무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식
  \(|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\)
  는 무한히 많은 유리수\(p/q\) 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)
  
• 연분수 항목 참조
  

 

 

 

 

리우빌 정리

• 리우빌 정리 (1844)
   
  무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 와 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여, 부등식 
  \( \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}\)
  의 유리수해 \(p/q\)의 개수는 유한하다
  
• 리우빌 정리의 또다른 버전
  무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, 적당한 상수 \(c(\alpha)>0\)가 존재하여, 모든 유리수 \(p/q\)에 대하여 다음 부등식이 만족된다. 
  \( \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{c(\alpha)}{q^{d}}\)
  

• 이 정리를 사용하여, 리우빌 상수 c가 초월수임을 증명할 수 있다
  \(c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots\)
  

 

 

Thue-Siegel-Roth 정리

주어진 \(\epsilon}>0\)에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식

\(\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}\)

의 유리수해 \(p/q\)는 유한하다

 

 

 

재미있는 사실

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

역사

• 1844 리우빌
  
• 1909 Thue
  
• 1921 지겔
  
• 1955 Roth
  
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=diophantine+approximation
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표
•  

 

 

 

 

관련된 항목들

• 황금비
  

 

 

수학용어번역

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_approximation
• http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• Diophantine Approximation: historical survey
  
  • From Introduction to Diophantine methods course by Michel Waldschmidt.
  • Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• 도서내검색
  
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