볼록다면체에 대한 데카르트 정리

간단한 소개

• 다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 \(2\pi\).
  
  위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기.
  이를 다 합하면 \(2\pi\)가 됨.
  
• 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
• 다면체의 한 점에서의 외각
  
  • 정의 \[2\pi\] - (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)
  • 다음 표를 통해, 그 예를 볼 수 있음.

다면체	그림	점 V	선 E	면 F	V-E+F	한점에서의 외각 A	외각의 총합 V × A
정사면체	[[|Tetrahedron]]	4	6	4	4-6+4=2	\(2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi\)	\(4\times\pi=4\pi\)
정육면체	[[|Hexahedron (cube)]]	8	12	6	8-12+6=2	\(2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\)	\(8\times\frac{\pi}{2}=4\pi\)
정팔면체	[[|Octahedron]]	6	12	8	6-12+8=2	\(2\pi-4\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)	\(6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi\)
정십이면체	[[|Dodecahedron]]	20	30	12	20-30+12=2	\(2\pi-3\times\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\)	\(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\)
정이십면체	[[|Icosahedron]]	12	30	20	12-30+20=2	\(2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)	\(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\)

• 데카르트의 정리는 다면체의 각 점에서의 외각의 총합이 \(4\pi\) 라는 것.
• 증명

다면체의 점, 선, 면의 개수를 각각 V,E,F 라고 하자.

 

각 점에서의 외각의 총합

이제,  를 다면체에 있는 k-각형의 개수라 하자.

k각형의 내각의 합은 이므로, 위의 식은 다음과 같아진다.

 

여기서 가 성립하는데, 이는 각 변이 두번씩 세어지기 때문이다. 따라서 위의 식은

 

(오일러의 정리가 사용되었음)

 

재미있는 사실

• 정십이면체의 점의 개수를 세는 경우의 응용.

점의 개수를 세지말고, 한 점에 정오각형이 세 개 모여있다는 것을 확인

정오각형의 한 점의 내각의 크기가 \(\frac{3\pi}{5}\)

한 점에서의 외각이 \(\frac{\pi}{5}\) 가 된다는 것을 알수 있음.

데카르트의 정리에 의해  \(4\pi\) 를 이 숫자로 나누면 점의 개수 20을 얻게 됨.

 

• 데카르트의 정리는 위상적인 성질을 반영하는 것이기 때문에, 사실은 꼭 정다면체뿐만이 아니라, 축구공과 같은 일반적인 (볼록)다면체에서도 성립함.
• 축구공의 점의 개수를 세는 데 응용

모든 점이 똑같이 생겼다는 사실을 확인.

한 점에는 정오각형 하나, 정육각형 두개가 만나고 있다는 사실을 재빠르게 간파한 다음,

정오각형 한점 내각 = 108도, 정육각형 한점 내각 = 120도

따라서 축구공 한 점에서의 외각 크기 = 360도 -108도 -120도 -120도 = 12도

데카르트 정리를 이용하여 \(4\pi \div 12\)도 \( = 720 \div 12 = 60\)

그러므로 축구공에는 점이 60개 있음.

 

 

관련된 다른 주제들

• 다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2

 

관련도서 및 추천도서

• Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
  
  • David S. Richeson
  • 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
•  
  Geometry and the Imagination in Minneapolis
  
  • John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman, Bill Thurston
  • This document consists of the collection of handouts for a two-week summer workshop entitled 'Geometry and the Imagination', led by John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman and Bill Thurston at the Geometry Center in Minneapolis, June 17-28, 1991. The workshop was based on a course `Geometry and the Imagination' which we had taught twice before at Princeton.
  • The angle defect of a polyhedron
  • Descartes's Formula.

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 대수적위상수학

 

참고할만한 자료

• 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리
  
  • 피타고라스의 창